Giup minh vii

Câu 3: Để hàm số $y = f(x^3 + 4x + m)$ nghịch biến trên khoảng $(-1, 1)$, ta cần đạo hàm của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên khoảng này. Ta có: \[ y' = f'(x^3 + 4x + m) \cdot (3x^2 + 4) \] Để $y'$ nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên khoảng $(-1, 1)$, ta cần: \[ f'(x^3 + 4x + m) \leq 0 \quad \text{và} \quad 3x^2 + 4 > 0 \] Từ bảng xét dấu đạo hàm của $f(x)$, ta thấy $f'(x) \leq 0$ khi $x \leq -1$ hoặc $x \geq 2$. Do đó, ta cần: \[ x^3 + 4x + m \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x^3 + 4x + m \geq 2 \] Trên khoảng $(-1, 1)$, ta có: \[ -1 < x < 1 \] \[ -1 < x^3 < 1 \] \[ -4 < 4x < 4 \] \[ -5 < x^3 + 4x < 5 \] Do đó, để $x^3 + 4x + m \leq -1$, ta cần: \[ m \leq -1 - x^3 - 4x \] Và để $x^3 + 4x + m \geq 2$, ta cần: \[ m \geq 2 - x^3 - 4x \] Vì $x^3 + 4x$ đạt giá trị lớn nhất là 5 và nhỏ nhất là -5 trên khoảng $(-1, 1)$, ta có: \[ m \leq -1 - (-5) = 4 \] \[ m \geq 2 - 5 = -3 \] Vậy $m$ phải thỏa mãn: \[ -3 \leq m \leq 4 \] Câu 4: Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2 - 6x + 2m}}$ có hai đường tiệm cận đứng khi mẫu số bằng 0 tại hai giá trị khác nhau của $x$. Ta có: \[ x^2 - 6x + 2m = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta = 36 - 8m > 0 \] \[ m < \frac{9}{2} \] Vì $m$ là số nguyên, ta có các giá trị $m$ là: $m = 0, 1, 2, 3, 4$ Vậy tập hợp $S$ có 5 phần tử. Câu 5: Hàm số $y = |3x^5 - 25x^3 + 60x + m|$ có 7 điểm cực trị khi hàm số $g(x) = 3x^5 - 25x^3 + 60x + m$ có 6 điểm cực trị. Ta có: \[ g'(x) = 15x^4 - 75x^2 + 60 \] Để $g'(x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt, ta cần: \[ 15(x^4 - 5x^2 + 4) = 0 \] \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] \[ (x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0 \] \[ x = \pm 1, \pm 2 \] Vậy $g(x)$ có 6 điểm cực trị khi $m$ là giá trị sao cho $g(x)$ có 6 điểm cực trị. Ta có 3 giá trị của $m$ là: \[ m = -32, 0, 32 \] Câu 6: Ta có: \[ f(x) = m\sqrt{x-1} \] Đạo hàm của $f(x)$ là: \[ f'(x) = \frac{m}{2\sqrt{x-1}} \] Trên đoạn $[2, 5]$, ta có: \[ f(2) = m \] \[ f(5) = 2m \] Vì $f(x)$ là hàm số đồng biến, ta có: \[ \min_{[2,5]} f(x) = m \] \[ \max_{[2,5]} f(x) = 2m \] Theo đề bài, ta có: \[ m + 2m = m^2 - 10 \] \[ 3m = m^2 - 10 \] \[ m^2 - 3m - 10 = 0 \] \[ (m - 5)(m + 2) = 0 \] Vậy $m = 5$ hoặc $m = -2$. Vậy $m_1 + m_2 = 5 + (-2) = 3$. Đáp số: \[ \boxed{3} \]