Bt toán 12

Câu 13. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trong \( (2; +\infty) \). Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = -1 + \frac{1}{(x-1)^2}. \] Chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trong khoảng \( (2; +\infty) \): \[ f'(x) = -1 + \frac{1}{(x-1)^2}. \] Trong khoảng \( (2; +\infty) \), \( x > 2 \), do đó \( x - 1 > 1 \) và \( (x-1)^2 > 1 \). Điều này dẫn đến: \[ \frac{1}{(x-1)^2} < 1. \] Do đó: \[ f'(x) = -1 + \frac{1}{(x-1)^2} < 0. \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (2; +\infty) \), hàm số \( f(x) \) nghịch biến trong khoảng này. Do đó, phần a) là sai. b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trong khoảng \( (-\infty; 0) \) là 2. Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trong khoảng \( (-\infty; 0) \). Đầu tiên, chúng ta tìm điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = -1 + \frac{1}{(x-1)^2} = 0. \] \[ \frac{1}{(x-1)^2} = 1. \] \[ (x-1)^2 = 1. \] \[ x - 1 = \pm 1. \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = 0. \] Trong khoảng \( (-\infty; 0) \), chỉ có \( x = 0 \) nằm trong khoảng này. Chúng ta kiểm tra giá trị của hàm số tại điểm này: \[ f(0) = -0 + 1 - \frac{1}{0-1} = 1 + 1 = 2. \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trong khoảng \( (-\infty; 0) \) là 2. Phần b) là đúng. c) Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trong khoảng \( (2; +\infty) \) là -2. Chúng ta đã biết rằng hàm số \( f(x) \) nghịch biến trong khoảng \( (2; +\infty) \). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trong khoảng này sẽ là giá trị của hàm số tại điểm gần nhất với \( x = 2 \) từ bên phải. Tuy nhiên, hàm số không có giá trị lớn nhất cố định trong khoảng này mà tiếp tục giảm dần. Do đó, phần c) là sai. d) Giao điểm của hai đường tiệm cận là \( I(1; 0) \). Hàm số \( f(x) = -x + 1 - \frac{1}{x-1} \) có đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \) (vì mẫu số \( x-1 \) bằng 0 tại \( x = 1 \)) và đường tiệm cận斜渐近线是\(y = -x + 1\)（因为当\(x\)趋于无穷大时，\(\frac{1}{x-1}\)趋于0）。 两条渐近线的交点是： \[ x = 1 \] \[ y = -1 + 1 = 0 \] 所以交点是\(I(1, 0)\)。因此，选项d是正确的。 综上所述，正确答案是： b) 和 d) 是正确的。 Câu 14. a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(3;1;2).$ Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A: \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 1; 1 - 2; 1 - 3) = (-3; -1; -2) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(-3; -1; -2)$. b) Độ dài đoạn thẳng AC bằng $\sqrt{42}.$ Độ dài đoạn thẳng AC được tính bằng công thức: \[ |AC| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} \] Thay tọa độ của các điểm vào công thức: \[ |AC| = \sqrt{((-3) - 1)^2 + (3 - 2)^2 + ((-2) - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42} \] Vậy độ dài đoạn thẳng AC là $\sqrt{42}$. c) Tam giác ABC cân. Để kiểm tra tam giác ABC có cân hay không, ta cần so sánh độ dài các cạnh của tam giác này. Ta đã biết độ dài đoạn thẳng AC là $\sqrt{42}$. Bây giờ, ta tính độ dài đoạn thẳng AB và BC. Độ dài đoạn thẳng AB: \[ |AB| = \sqrt{((-2) - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \] Độ dài đoạn thẳng BC: \[ |BC| = \sqrt{((-3) - (-2))^2 + (3 - 1)^2 + ((-2) - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] Ta thấy rằng $|AB| = |BC| = \sqrt{14}$. Vì vậy, tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh B. d) Góc BAC là góc nhọn. Để kiểm tra góc BAC có phải là góc nhọn hay không, ta cần tính cosin của góc này. Ta sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\angle BAC) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} \] Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = (-3 - 1; 3 - 2; -2 - 3) = (-4; 1; -5) \] Tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot (-5) = 12 - 1 + 10 = 21 \] Ta đã biết $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{14}$ và $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{42}$. Vậy: \[ \cos(\angle BAC) = \frac{21}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{42}} = \frac{21}{\sqrt{588}} = \frac{21}{2\sqrt{147}} = \frac{21}{2 \cdot 7\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vì $\cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, nên góc BAC là góc nhọn. Kết luận: a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(-3; -1; -2)$. b) Độ dài đoạn thẳng AC bằng $\sqrt{42}$. c) Tam giác ABC cân. d) Góc BAC là góc nhọn.