Giai bai toan

Câu 1. Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm I. Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB, do đó vectơ $\overrightarrow{AI}$ sẽ có cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{IB}$ nhưng ngược lại với vectơ $\overrightarrow{BA}$. Bây giờ, ta xét từng lựa chọn: A. $\overrightarrow{BI}$: Điểm I là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{BI}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AI}$. Do đó, $\overrightarrow{AI}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{BI}$. B. $\overrightarrow{CD}$: Điểm C và D không liên quan trực tiếp đến đoạn thẳng AB, nên $\overrightarrow{CD}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{AI}$. C. $\overrightarrow{CI}$: Điểm C không liên quan trực tiếp đến đoạn thẳng AB, nên $\overrightarrow{CI}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{AI}$. D. $\overrightarrow{AB}$: Điểm I là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{AI}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{AB}$. Câu 2. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các vectơ $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ liên tiếp từ đỉnh A đến đỉnh A' và từ đỉnh A đến đỉnh D. Ta có: \[ \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} \] Theo quy tắc tam giác trong đại lượng vectơ, tổng của hai vectơ này sẽ là vectơ từ điểm đầu của vectơ thứ nhất đến điểm cuối của vectơ thứ hai. Trong trường hợp này, điểm đầu của $\overrightarrow{AA'}$ là A và điểm cuối của $\overrightarrow{AD}$ là D. Do đó, tổng của chúng sẽ là vectơ từ A đến C, tức là $\overrightarrow{AC}$. Vậy: \[ \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{AC}$ Câu 3. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm \(G\) của tam giác \(BCD\) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số \(2:1\). Trong đó, \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\). Ta sẽ tính \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\): 1. Ta biết rằng trọng tâm \(G\) của tam giác \(BCD\) thỏa mãn: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3} \] 2. Nhân cả hai vế với 3 để tìm \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\): \[ 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \] Do đó, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}\). Vậy đáp án đúng là: C. \(3\overrightarrow{AG}\). Câu 4. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan đến các điểm M và N. - Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, do đó $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}$. - Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng CD, do đó $\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{ND}$. Ta cần tìm vectơ nào bằng $2\overrightarrow{MN}$. Bây giờ, ta sẽ tính $\overrightarrow{MN}$: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN}$ Vì M là trung điểm của BC, nên $\overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Vì N là trung điểm của CD, nên $\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$. Do đó: $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ Nhân cả hai vế với 2 để tìm $2\overrightarrow{MN}$: $2\overrightarrow{MN} = 2 \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} \right)$ $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ Ta nhận thấy rằng $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD}$. Vậy $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{BD}$. Câu 5. Để tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}$, ta cần sử dụng công thức скалярного произведения векторов: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó, $\theta$ là góc giữa hai вектора $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$. 1. Xác định độ dài các векторы: - Tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng nhau, do đó $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CA}| = 2$. 2. Xác định góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$: - Trong tứ diện đều, góc giữa hai cạnh liên tiếp là $120^\circ$. Do đó, $\theta = 120^\circ$. 3. Tính $\cos(120^\circ)$: - $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. 4. Thay vào công thức скалярного произведения: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(120^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \] Vậy $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = -2$. Đáp án đúng là: D. -2. Câu 6. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} = (3; -1; 2)$ được tính bằng công thức sau: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} \] Ta thực hiện các phép tính bên trong căn bậc hai: \[ 3^2 = 9 \] \[ (-1)^2 = 1 \] \[ 2^2 = 4 \] Bây giờ cộng các kết quả lại: \[ 9 + 1 + 4 = 14 \] Cuối cùng, ta tính căn bậc hai của tổng này: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{14} \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $\sqrt{14}$.