Giúp mình với! Bài 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB

Question

Giúp mình với! Bài 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB<AC,~AC
e2.AB)),$ M là trung điểm của,BC. Kẻ MH vuông góc với AC (H thuộc AC), Trên tia HM lấy điểm D sao cho $HM=MD.$,a) Chứng minh: Tứ giác BHCD là hình bình hành.,b) Chứng minh: Tứ giác ABDH là hình chữ nhật.,c) Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt đường thẳng đi qua C song song với,AM tại K. Chứng minh :Tứ giác AMCK là hình thoi.,d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AMCK là hình vuông.

Accepted Answer

Bài 5
a) Ta có M là trung điểm của BC và HM = MD nên tứ giác BHCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm).
b) Ta có $\widehat{AHM}=\widehat{BHC}=90^{\circ}$ (vì MH vuông góc với AC)
Suy ra Tứ giác ABDH là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).
c) Ta có AK // BC và CK // AM nên tứ giác AMCK là hình bình hành (vì có hai cặp cạnh đối song song).
Mặt khác, ta có $\widehat{CAM}=\widehat{ACK}$ (hai góc so le trong)
$\widehat{CAM}=\widehat{AMC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Suy ra $\widehat{AMC}=\widehat{ACK}$
Suy ra AM = CK (cạnh đối của tam giác AMK)
Vậy tứ giác AMCK là hình thoi (vì là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau).
d) Để tứ giác AMCK là hình vuông thì $\widehat{AMC}=90^{\circ}$
Suy ra $\widehat{BAC}=90^{\circ}$
Vậy tam giác ABC cần có thêm điều kiện $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ để tứ giác AMCK là hình vuông.