Giúp tui với Vt rõ cách làm luôn nha đừng lãm tắt nhé

Câu 77. Để tính $\int \frac{e^{2x} + 1}{e^x + 1} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn phân thức trong tích phân. \[ \frac{e^{2x} + 1}{e^x + 1} \] Ta nhận thấy rằng $e^{2x} = (e^x)^2$. Do đó, ta có thể viết lại phân thức như sau: \[ \frac{(e^x)^2 + 1}{e^x + 1} \] Bước 2: Thực hiện phép chia đa thức để rút gọn phân thức. Ta chia $(e^x)^2 + 1$ cho $e^x + 1$: \[ (e^x)^2 + 1 = (e^x + 1)(e^x - 1) + 2 \] Do đó: \[ \frac{(e^x)^2 + 1}{e^x + 1} = e^x - 1 + \frac{2}{e^x + 1} \] Bước 3: Tích phân từng phần. \[ \int \left( e^x - 1 + \frac{2}{e^x + 1} \right) \, dx \] Chia thành ba tích phân riêng biệt: \[ = \int e^x \, dx - \int 1 \, dx + 2 \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx \] Bước 4: Tính từng tích phân. \[ \int e^x \, dx = e^x \] \[ \int 1 \, dx = x \] Để tính $\int \frac{1}{e^x + 1} \, dx$, ta thực hiện phép đổi biến $u = e^x + 1$, do đó $du = e^x \, dx$ và $dx = \frac{du}{e^x} = \frac{du}{u-1}$: \[ \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{u-1} = \int \frac{1}{u(u-1)} \, du \] Phân tích thành tổng hai phân số: \[ \frac{1}{u(u-1)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u-1} \] \[ 1 = A(u-1) + B(u) \] \[ 1 = Au - A + Bu \] \[ 1 = (A+B)u - A \] So sánh hệ số: \[ A + B = 0 \quad \text{và} \quad -A = 1 \] \[ A = -1 \quad \text{và} \quad B = 1 \] Do đó: \[ \frac{1}{u(u-1)} = \frac{-1}{u} + \frac{1}{u-1} \] \[ \int \frac{1}{u(u-1)} \, du = \int \left( \frac{-1}{u} + \frac{1}{u-1} \right) \, du = -\ln|u| + \ln|u-1| \] \[ = \ln \left| \frac{u-1}{u} \right| = \ln \left| \frac{e^x}{e^x + 1} \right| \] Bước 5: Kết hợp tất cả các kết quả lại. \[ \int \frac{e^{2x} + 1}{e^x + 1} \, dx = e^x - x + 2 \ln \left| \frac{e^x}{e^x + 1} \right| + C \] Vậy đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{e^x - x + 2 \ln \left| \frac{e^x}{e^x + 1} \right| + C} \] Câu 78. Để tính tích phân \(\int(e^x + e^{-x})^2 \, dx\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở rộng biểu thức trong dấu tích phân. \[ (e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} + 2 + e^{-2x} \] Bước 2: Tách tích phân thành tổng các tích phân riêng biệt. \[ \int(e^x + e^{-x})^2 \, dx = \int(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) \, dx = \int e^{2x} \, dx + \int 2 \, dx + \int e^{-2x} \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng biệt. \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C_1 \] \[ \int 2 \, dx = 2x + C_2 \] \[ \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C_3 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả lại. \[ \int(e^x + e^{-x})^2 \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + 2x - \frac{1}{2} e^{-2x} + C \] Trong đó \(C\) là hằng số tích phân, bao gồm cả các hằng số \(C_1\), \(C_2\), và \(C_3\). Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ \int(e^x + e^{-x})^2 \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + 2x - \frac{1}{2} e^{-2x} + C \] Câu 79. Để tính tích phân \(\int_{1 - e^{-x}}^{e^{2x} - 1} dx\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân. - Cận dưới là \(1 - e^{-x}\). - Cận trên là \(e^{2x} - 1\). Bước 2: Tính tích phân. \[ \int_{1 - e^{-x}}^{e^{2x} - 1} dx \] Bước 3: Áp dụng công thức cơ bản của tích phân \(\int dx = x + C\): \[ \left[ x \right]_{1 - e^{-x}}^{e^{2x} - 1} \] Bước 4: Thay cận vào biểu thức: \[ (e^{2x} - 1) - (1 - e^{-x}) \] Bước 5: Rút gọn biểu thức: \[ e^{2x} - 1 - 1 + e^{-x} = e^{2x} + e^{-x} - 2 \] Vậy kết quả của tích phân là: \[ \boxed{e^{2x} + e^{-x} - 2} \] Câu 80. Để chứng minh rằng \( F(x) = (4x - 5)e^x \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (4x - 1)e^x \), ta cần kiểm tra xem đạo hàm của \( F(x) \) có bằng \( f(x) \) hay không. Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \). \[ F(x) = (4x - 5)e^x \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số: \[ F'(x) = (4x - 5)'e^x + (4x - 5)(e^x)' \] Tính đạo hàm từng thành phần: \[ (4x - 5)' = 4 \] \[ (e^x)' = e^x \] Do đó: \[ F'(x) = 4e^x + (4x - 5)e^x \] Bước 2: Rút gọn biểu thức đạo hàm. \[ F'(x) = 4e^x + 4xe^x - 5e^x \] \[ F'(x) = (4 + 4x - 5)e^x \] \[ F'(x) = (4x - 1)e^x \] Bước 3: So sánh kết quả với \( f(x) \). Ta thấy rằng: \[ F'(x) = (4x - 1)e^x = f(x) \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( F(x) = (4x - 5)e^x \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (4x - 1)e^x \). Câu 81. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = me^x + 2a^x - 2\sin x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong tổng này. 1. Tìm nguyên hàm của \( me^x \): \[ \int me^x \, dx = m \int e^x \, dx = me^x + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( 2a^x \): \[ \int 2a^x \, dx = 2 \int a^x \, dx = 2 \cdot \frac{a^x}{\ln a} + C_2 = \frac{2a^x}{\ln a} + C_2 \] 3. Tìm nguyên hàm của \( -2\sin x \): \[ \int -2\sin x \, dx = -2 \int \sin x \, dx = -2(-\cos x) + C_3 = 2\cos x + C_3 \] Gộp lại, ta có: \[ F(x) = me^x + \frac{2a^x}{\ln a} + 2\cos x + C \] Trong đó \( C = C_1 + C_2 + C_3 \) là hằng số tích phân. Vậy nguyên hàm của \( f(x) = me^x + 2a^x - 2\sin x \) là: \[ F(x) = me^x + \frac{2a^x}{\ln a} + 2\cos x + C \] Câu 82. Để tìm \(a\), \(b\), và \(c\) sao cho \(F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{-2x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = -(2x^2 - 8x + 7)e^{-2x}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của \(F(x)\). \[ F'(x) = \left( (ax^2 + bx + c)e^{-2x} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm: \[ F'(x) = (ax^2 + bx + c)'e^{-2x} + (ax^2 + bx + c)(e^{-2x})' \] \[ F'(x) = (2ax + b)e^{-2x} + (ax^2 + bx + c)(-2e^{-2x}) \] \[ F'(x) = (2ax + b)e^{-2x} - 2(ax^2 + bx + c)e^{-2x} \] \[ F'(x) = e^{-2x} \left[ 2ax + b - 2ax^2 - 2bx - 2c \right] \] \[ F'(x) = e^{-2x} \left[ -2ax^2 + (2a - 2b)x + (b - 2c) \right] \] Bước 2: So sánh \(F'(x)\) với \(f(x)\). \[ F'(x) = e^{-2x} \left[ -2ax^2 + (2a - 2b)x + (b - 2c) \right] \] \[ f(x) = -(2x^2 - 8x + 7)e^{-2x} \] So sánh hệ số tương ứng của \(x^2\), \(x\), và hằng số: \[ -2a = -2 \Rightarrow a = 1 \] \[ 2a - 2b = 8 \Rightarrow 2 - 2b = 8 \Rightarrow -2b = 6 \Rightarrow b = -3 \] \[ b - 2c = -7 \Rightarrow -3 - 2c = -7 \Rightarrow -2c = -4 \Rightarrow c = 2 \] Vậy, \(a = 1\), \(b = -3\), và \(c = 2\). Đáp số: \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\).