h5ịkhhhhhiukk

Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. Phần a) Vận tốc của vật sau 2 giây: - Vận tốc ban đầu là \( v_0 = 24,5 \, \text{m/s} \). - Gia tốc do trọng lực là \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \). Vận tốc sau 2 giây: \[ v(t) = v_0 - gt \] \[ v(2) = 24,5 - 9,8 \times 2 \] \[ v(2) = 24,5 - 19,6 \] \[ v(2) = 4,9 \, \text{m/s} \] Vậy phần a) đúng. Phần b) Thời điểm vật chạm đất: - Độ cao \( h(t) = 0 \) khi vật chạm đất. \[ 2 + 24,5t - 4,9t^2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ -4,9t^2 + 24,5t + 2 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm \sqrt{(24,5)^2 - 4(-4,9)(2)}}{2(-4,9)} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm \sqrt{600,25 + 39,2}}{-9,8} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm \sqrt{639,45}}{-9,8} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm 25,287}{-9,8} \] Lấy nghiệm dương: \[ t = \frac{-24,5 + 25,287}{-9,8} \approx 2,5 \, \text{s} \] Vậy phần b) đúng. Phần c) Vận tốc của vật lúc chạm đất: - Thời điểm chạm đất là \( t = 2,5 \, \text{s} \). \[ v(t) = v_0 - gt \] \[ v(2,5) = 24,5 - 9,8 \times 2,5 \] \[ v(2,5) = 24,5 - 24,5 \] \[ v(2,5) = 0 \, \text{m/s} \] Vậy phần c) sai. Phần d) Độ cao lớn nhất: - Đỉnh của parabol \( h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 \) đạt tại \( t = \frac{-b}{2a} \). \[ t_{\text{đỉnh}} = \frac{-24,5}{2(-4,9)} \] \[ t_{\text{đỉnh}} = \frac{24,5}{9,8} \] \[ t_{\text{đỉnh}} = 2,5 \, \text{s} \] Độ cao tại thời điểm này: \[ h(2,5) = 2 + 24,5 \times 2,5 - 4,9 \times (2,5)^2 \] \[ h(2,5) = 2 + 61,25 - 30,625 \] \[ h(2,5) = 32,625 \, \text{m} \] Vậy phần d) đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 1: Để tìm khoảng $(a; b)$ mà hàm số lợi nhuận $P(x)$ đồng biến, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm số lợi nhuận \( P(x) \): \[ P(x) = R(x) - C(x) \] \[ P(x) = (3,6x - 0,0005x^2) - (1,2x - 0,0001x^2) \] \[ P(x) = 3,6x - 0,0005x^2 - 1,2x + 0,0001x^2 \] \[ P(x) = 2,4x - 0,0004x^2 \] 2. Tìm đạo hàm của \( P(x) \): \[ P'(x) = \frac{d}{dx}(2,4x - 0,0004x^2) \] \[ P'(x) = 2,4 - 0,0008x \] 3. Xác định khoảng mà \( P(x) \) đồng biến: Hàm số \( P(x) \) đồng biến khi \( P'(x) > 0 \): \[ 2,4 - 0,0008x > 0 \] \[ 2,4 > 0,0008x \] \[ x < \frac{2,4}{0,0008} \] \[ x < 3000 \] Do đó, hàm số \( P(x) \) đồng biến trên khoảng \( (0; 3000) \). 4. Tính giá trị \( b - a \): Trong khoảng \( (0; 3000) \), ta có \( a = 0 \) và \( b = 3000 \). \[ b - a = 3000 - 0 = 3000 \] Đáp số: \( b - a = 3000 \) Câu 2: Khi dựng lều từ một tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4m, ta sẽ tạo ra một hình chóp đều với đáy là hình vuông và chiều cao của chóp là h. Để tìm thể tích lớn nhất của lều, ta cần xác định chiều cao h sao cho thể tích của chóp là lớn nhất. Thể tích V của chóp đều được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Diện tích đáy của chóp là diện tích của hình vuông có cạnh 4m: \[ S_{\text{đáy}} = 4 \times 4 = 16 \, m^2 \] Vậy thể tích V của chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times 16 \times h = \frac{16h}{3} \] Để tìm chiều cao h sao cho thể tích V là lớn nhất, ta cần xem xét cấu trúc của chóp. Chiều cao h của chóp sẽ phụ thuộc vào cách ta dựng tấm bạt. Ta giả sử rằng khi dựng tấm bạt, ta tạo ra một hình chóp đều với đáy là hình vuông và các mặt bên là các tam giác đều. Trong trường hợp này, chiều cao h của chóp sẽ tối đa khi chóp đều có các mặt bên là các tam giác đều. Chiều cao h của chóp sẽ là khoảng cách từ đỉnh chóp đến tâm của đáy hình vuông. Ta có thể sử dụng kiến thức về hình học để tìm chiều cao h. Chiều cao h của chóp sẽ là khoảng cách từ đỉnh chóp đến tâm của đáy hình vuông. Ta có thể sử dụng công thức tính chiều cao của chóp đều: \[ h = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2\sqrt{2}}\right)^2} \] Trong đó, a là độ dài cạnh của đáy hình vuông. Áp dụng vào bài toán: \[ h = \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 - \left(\frac{4}{2\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{2^2 - \left(\frac{4}{2\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \] Vậy chiều cao h của chóp là $\sqrt{2}$ m. Thể tích lớn nhất của lều là: \[ V = \frac{16 \times \sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3} \, m^3 \] Đáp số: $\frac{16\sqrt{2}}{3} \, m^3$ Câu 3: Trước hết, ta tính lượng muối ban đầu trong bình chứa: Lượng muối ban đầu trong bình chứa là: \[ 2 \times 40 = 80 \text{ (g)} \] Tiếp theo, ta tính lượng dung dịch và lượng muối được bơm vào mỗi phút: Lượng dung dịch được bơm vào mỗi phút là: \[ 3 + 2 = 5 \text{ (lít)} \] Lượng muối được bơm vào mỗi phút từ dung dịch có nồng độ 10 g/lít là: \[ 3 \times 10 = 30 \text{ (g)} \] Lượng muối được bơm vào mỗi phút từ dung dịch có nồng độ 8 g/lít là: \[ 2 \times 8 = 16 \text{ (g)} \] Tổng lượng muối được bơm vào mỗi phút là: \[ 30 + 16 = 46 \text{ (g)} \] Bây giờ, ta tính tổng lượng dung dịch và lượng muối trong bình chứa sau thời gian t phút: Tổng lượng dung dịch trong bình chứa sau thời gian t phút là: \[ 2 + 5t \text{ (lít)} \] Tổng lượng muối trong bình chứa sau thời gian t phút là: \[ 80 + 46t \text{ (g)} \] Nồng độ muối trong bình chứa sau thời gian t phút là: \[ C(t) = \frac{80 + 46t}{2 + 5t} \text{ (g/lít)} \] Khi thời gian t đủ lớn, ta có thể coi \( t \) là rất lớn so với 2 và 80. Do đó, ta có thể bỏ qua các hằng số nhỏ so với \( t \): \[ C(t) \approx \frac{46t}{5t} = \frac{46}{5} = 9.2 \text{ (g/lít)} \] Vậy khi thời gian t đủ lớn thì nồng độ muối trong bình chứa tiến gần đến giá trị là 9.2 g/lít. Đáp số: 9.2 g/lít Câu 4: Bài 1: Chi phí để cơ sở chế biến A sản xuất x kg một loại sản phẩm trong một ngày là: \[ Q(x) = 260x + 3000 \text{ (nghìn đồng)} \] Giá bán sản phẩm là: \[ P(x) = 680 - x - 0,01x^2 \text{ (nghìn đồng/kg)} \] Doanh thu từ việc bán x kg sản phẩm là: \[ R(x) = x \cdot P(x) = x(680 - x - 0,01x^2) = 680x - x^2 - 0,01x^3 \text{ (nghìn đồng)} \] Lợi nhuận là: \[ L(x) = R(x) - Q(x) = (680x - x^2 - 0,01x^3) - (260x + 3000) = 420x - x^2 - 0,01x^3 - 3000 \text{ (nghìn đồng)} \] Để tìm giá trị x tối ưu hóa lợi nhuận, ta tính đạo hàm của \( L(x) \): \[ L'(x) = 420 - 2x - 0,03x^2 \] Đặt \( L'(x) = 0 \): \[ 420 - 2x - 0,03x^2 = 0 \] \[ 0,03x^2 + 2x - 420 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 0,03 \cdot (-420)}}{2 \cdot 0,03} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 50,4}}{0,06} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{54,4}}{0,06} \] \[ x = \frac{-2 \pm 7,37}{0,06} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-2 + 7,37}{0,06} \approx 89,5 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 7,37}{0,06} \approx -156,17 \] (loại vì không hợp lý) Vậy, để lợi nhuận đạt cao nhất, cơ sở cần sản xuất khoảng 89 kg sản phẩm mỗi ngày. Bài 2: a) Gọi x (mét) là số đo chiều rộng đáy hồ, chiều dài đáy hồ là 2x (mét). Diện tích đáy hồ là: \[ S_{\text{đáy}} = x \cdot 2x = 2x^2 \text{ (mét vuông)} \] Diện tích thành hồ gồm 4 mặt: \[ S_{\text{thành}} = 2 \cdot (x \cdot h) + 2 \cdot (2x \cdot h) = 2xh + 4xh = 6xh \text{ (mét vuông)} \] b) Dung tích hồ là 20 m³, nên: \[ 2x^2 \cdot h = 20 \] \[ h = \frac{20}{2x^2} = \frac{10}{x^2} \] Chi phí thi công nền hồ: \[ C_{\text{nền}} = 800 \cdot 2x^2 = 1600x^2 \text{ (nghìn đồng)} \] Chi phí thi công thành hồ: \[ C_{\text{thành}} = 500 \cdot 6xh = 500 \cdot 6x \cdot \frac{10}{x^2} = 30000 \cdot \frac{1}{x} \text{ (nghìn đồng)} \] Tổng chi phí: \[ C(x) = 1600x^2 + 30000 \cdot \frac{1}{x} \] Đạo hàm của \( C(x) \): \[ C'(x) = 3200x - 30000 \cdot \frac{1}{x^2} \] Đặt \( C'(x) = 0 \): \[ 3200x - 30000 \cdot \frac{1}{x^2} = 0 \] \[ 3200x^3 = 30000 \] \[ x^3 = \frac{30000}{3200} = 9,375 \] \[ x \approx 2,11 \text{ (mét)} \] Chiều dài đáy hồ: \[ 2x \approx 4,22 \text{ (mét)} \] Chiều cao hồ: \[ h = \frac{10}{x^2} \approx \frac{10}{4,45} \approx 2,25 \text{ (mét)} \] Tổng chi phí thấp nhất: \[ C(2,11) \approx 1600 \cdot (2,11)^2 + 30000 \cdot \frac{1}{2,11} \approx 7100 + 14220 \approx 21320 \text{ (nghìn đồng)} \] Vậy, ông Minh cần xây dựng hồ với kích thước: chiều rộng đáy khoảng 2,11 mét, chiều dài đáy khoảng 4,22 mét, chiều cao khoảng 2,25 mét, và chi phí xây dựng thấp nhất là khoảng 21320 nghìn đồng.