lam bai sauuu

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi về đẳng thức vector và góc giữa hai vector, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Xác định đẳng thức đúng cho $\overrightarrow{MG}$ Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm: - G là trọng tâm của tam giác BCD, do đó $\overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{3}$. - Điểm M thuộc cạnh AB sao cho $AM = 2BM$, tức là M chia AB thành tỉ lệ 2:1 từ A đến B. Do đó, $\overrightarrow{M} = \frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{3}$. Ta cần tìm $\overrightarrow{MG}$: \[ \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{M} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{3} \] \[ \overrightarrow{M} = \frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{3} \] Do đó: \[ \overrightarrow{MG} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{3} - \frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{3} \] \[ = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - 2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{3} \] \[ = \frac{-2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{3} \] \[ = -\frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C} + \frac{1}{3}\overrightarrow{D} \] Tuy nhiên, để so sánh với các đáp án, ta cần viết lại theo dạng $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$: \[ \overrightarrow{MG} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C} + \frac{1}{3}\overrightarrow{D} \] \[ = -\frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC}) + \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AD}) \] \[ = -\frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} \] \[ = -\frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} \] \[ = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} \] Nhưng ta cần thêm $\overrightarrow{AB}$ vào: \[ \overrightarrow{MG} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{MG} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$. Phần 2: Xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ trong hình lập phương ABCD.EFGH Trong hình lập phương, các cạnh song song và vuông góc với nhau. Ta có: - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ dọc theo cạnh AB. - $\overrightarrow{EG}$ là vectơ dọc theo đường chéo của mặt đáy EFGH. Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ là góc giữa một cạnh và đường chéo của mặt đáy, do đó góc này là 45°. Vậy góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ là 45°. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần biết rằng góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \] Trong đó: - $\vec{a} \cdot \vec{b}$ là tích vô hướng của hai vectơ. - $|\vec{a}|$ và $|\vec{b}|$ là độ dài của hai vectơ. Bây giờ, giả sử chúng ta có hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ với các thành phần như sau: - $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ - $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ Tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \] Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là: \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \] Độ dài của vectơ $\vec{b}$ là: \[ |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} \] Giả sử chúng ta có các giá trị cụ thể cho các thành phần của vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, chúng ta có thể thay vào công thức trên để tính góc $\theta$. Ví dụ, nếu $\vec{a} = (1, 0, 0)$ và $\vec{b} = (0, 1, 0)$, thì: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0 \] \[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0 \] Góc $\theta$ là: \[ \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ \] Vậy đáp án đúng là: C. $90^\circ$ Đáp số: C. $90^\circ$ Câu 3. Để tìm tọa độ của điểm \( A_1 \), ta cần xác định hình chiếu vuông góc của điểm \( A(2;3;-2) \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \). Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng là điểm nằm trên mặt phẳng đó và đường thẳng nối hai điểm này vuông góc với mặt phẳng. Mặt phẳng \( (Oyz) \) có phương trình là \( x = 0 \). Do đó, tọa độ của điểm \( A_1 \) sẽ có dạng \( (0; y; z) \). Vì \( A_1 \) là hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \), nên tọa độ \( y \) và \( z \) của \( A_1 \) sẽ giống như tọa độ \( y \) và \( z \) của điểm \( A \). Do đó, tọa độ của điểm \( A_1 \) là \( (0; 3; -2) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( (0; 3; -2) \).