Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 7 - Đề số 2 - Kết nối tri thức

I. TRẮC NGHIỆM ( 3 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1. Thay tỉ số 1,25 : 3,45 bằng tỉ số giữa các số nguyên ta được

A. 12,5 : 34,5;

B. 29 : 65;

C. 25 : 69;

D. 1 : 3.

Câu 2. Biết 7x = 4y và y – x = 24. Khi đó, giá trị của x, y là

A. x = −56, y = −32;

B. x = 32, y = 56;

C. x = 56, y = 32;

D. x = 56, y = −32.

Câu 3. Biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2. Khi x = –3 thì giá trị của y bằng bao nhiêu?

A. –6;

B. 0;

C. –9;

D. –1.

Câu 4. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = –12 thì y = 8. Khi x = 3 thì y bằng:

A. –32;

B. 32;

C. –2;

D. 2.

Câu 5. Biểu thức đại số biểu thị “Lập phương của tổng của hai số x và y” là

A. x³ – y³;

B. x + y;

C. x³ + y³;

D. (x + y)³.

Câu 6. Hệ số tự do của đa thức M = -8x² – 4x + 3 – 2x⁵  là

A. -2;

B. 4;

C. 3;

D. 5.

Câu 7. Cho hai đa thức P(x) = 6x³ − 3x² − 2x + 4 và G(x) = 5x² − 7x + 9. Giá trị P(x) − G(x) bằng

A. x² − 9x +13;

B. 6x³ − 8x² + 5x −5;

C. x³ − 8x² + 5x −5;

D. 5x³ − 8x² + 5x +13.

Câu 8. Trong các giá trị sau đây, đâu là nghiệm của đa thức 5x² − 3x – 2?

A. \(x = 1\);

B. \(x =  - 1\);

C. \(x = \dfrac{2}{5}\);

D. \(x = \dfrac{{ - 2}}{5}\).

Câu 9. Cho tam giác MNP có: \(\widehat N = 70^\circ ;\widehat P = 55^\circ \). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. MP < MN;

B. MP = MN;

C. MP > MN;

D. Không đủ dữ kiện so sánh.

Câu 10. Cho tam giác MNP có: MN < MP, MD ⊥ NP. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. DN = DP;

B. MD < MP;

C. MD > MN;

D. MN = MP.

Câu 11. Bộ ba độ dài đoạn thẳng nào sau đây không thể tạo thành một tam giác?

A. 18cm; 28cm; 10cm;

B. 5cm; 4cm; 6cm;

C. 15cm; 18cm; 20cm;

D. 11cm; 9cm; 7cm.

Câu 12. Cho G là trọng tâm tam giác MNP có trung tuyến MK. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\dfrac{{MG}}{{GK}} = \dfrac{1}{2}\);

B. \(\dfrac{{MG}}{{MK}} = \dfrac{1}{3}\) ;

C. \(\dfrac{{KG}}{{MK}} = \dfrac{1}{3}\);

D. \(\dfrac{{MG}}{{MK}} = \dfrac{2}{3}\).

II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm) Tìm \(x\) biết:

a) \(x - \dfrac{2}{5} = \dfrac{{ - 9}}{{10}}\)                                                                                   b) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 5}}{6}\)

            c) \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{2 - x}}{{ - 2}}\)

Bài 2. (1,5 điểm) Tính chu vi của hình chữ nhật biết rằng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt tỉ lệ với \(5\,\,;\,\,3\) và hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 8 cm.

Bài 3. (1,5 điểm) Cho hai đa thức: \(P\left( x \right) = {\rm{ }}{x^3}\; - 2{x^2} + x - 2\);

\(Q\left( x \right) = 2{x^3}\; - 4{x^2} + 3x - 6\)

a)      Tính \(P(x) - Q(x)\)

b) Chứng tỏ rằng x = 2 là nghiệm của cả hai đa thức P(x) và Q(x).

Bài 4. (2,0 điểm) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(DM = MA\).

a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta DMC\).

b) Trên tia đối của tia \(CD\), lấy điểm \(I\) sao cho \(CI = CA\), qua điểm \(I\) vẽ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(E\). Chứng minh \(\Delta ACE = \Delta ICE\), từ đó suy ra \(\Delta ACE\) là tam giác vuông cân.

Bài 5. (0,5 điểm) Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + x.f\left( { - x} \right) = x + 1\) với mọi giá trị của \(x\). Tính \(f\left( 1 \right)\).

I. Trắc nghiệm

Câu 1.

Phương pháp

Nhân cả tử và mẫu của phân số với 1 số khác 0, ta được phân số có giá trị không đổi.

Lời giải

1,25 : 3,45 = 125 : 345 = 25 : 69.

Chọn C.

Câu 2.

Phương pháp

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải

Vì 7x = 4y nên \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{{y - x}}{{7 - 4}} = \dfrac{{24}}{3} = 8\)

Do đó x = 4 . 8 = 32; y = 7 . 8 = 56.

Chọn B.

Câu 3.

Phương pháp

Đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k\) thì \(y = kx\)

Lời giải

Khi x = - 3 thì \(y = kx = 2.( - 3) =  - 6\)

Chọn A.

Câu 4.

Phương pháp

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch: tích 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)

Cách giải:

Hệ số tỉ lệ là: -12 . 8 = -96.

Khi x = 3 thì y = -96 : 3 = -32.

Chọn A

Câu 5.

Phương pháp

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch: tích 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)

Cách giải:

Hệ số tỉ lệ là: -21 . 12 = -252.

Khi x = 7 thì y = -252 : 7 = -36.

Chọn A

Câu 6.

Phương pháp

Mô tả

Cách giải:

Tổng lập phương của hai số x và y là (x + y)³

Chọn D.

Câu 7.

Ta có: P(x) − G(x) = (6x³ − 3x² − 2x + 4) − (5x² − 7x + 9)

= 6x³ − 3x² − 2x + 4 − 5x² + 7x − 9

= 6x³ + (−3x² − 5x²) + (−2x + 7x) + (4 − 9)

= 6x³ − 8x² + 5x − 5.

Vậy P(x) − G(x) = 6x³ − 8x² + 5x −5.

Chọn B.

Câu 8.

Phương pháp

Thay lần lượt các giá trị của x vào đa thức.

Khi x = a, đa thức có giá trị bằng 0 thì a là nghiệm của đa thức.

Lời giải

Thay \(x = \dfrac{{ - 2}}{5}\)vào đa thức 5x² − 3x – 2, ta có:

\(5.{\left( {\dfrac{{ - 2}}{5}} \right)^2} - 3.\dfrac{{ - 2}}{5} - 2 = 0\)

Do đó, \(x = \dfrac{{ - 2}}{5}\) là nghiệm của đa thức 5x² − 3x – 2.

Chọn D.

Câu 9.

Phương pháp: Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác, tính góc M.

Dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác.

Cách giải: 

Xét tam giác MNP có: \(\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \widehat M = 180^\circ  - \widehat N - \widehat P = 180^\circ  - 70^\circ  - 55^\circ  = 55^\circ \)

Ta được: \(\widehat M = \widehat P\)

Mà cạnh NP là cạnh đối của góc M, MN là cạnh đối của góc P.

Vậy NP = MN.

Chọn B.

Câu 10:

Phương pháp: Sử dụng mối quan hệ đường xiên và hình chiếu.

Sử dụng quan hệ đường vuông góc và đường xiên.

Cách giải:

Trong tam giác MNP có MN < MP, hình chiếu của MN và MP trên cạnh NP lần lượt là ND và PD.

Do đó, ND < PD.

Ta có: MD < MP (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Chọn B

Câu 11.

Phương pháp: Bất đẳng thức tam giác: Kiểm tra tổng độ dài 2 cạnh nhỏ hơn có lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất không. Nếu không thì bộ 3 độ dài đó không tạo được thành tam giác.

Cách giải:

Vì 18 + 10 = 28 nên không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Do đó, bộ ba độ dài đoạn thẳng 18 cm; 28 cm; 10 cm không thể tạo thành một tam giác.

Chọn A.

Câu 12.

Phương pháp

Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)

Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác MNP nên G là giao điểm của ba đường trung tuyến nên 

\(MG = \dfrac{2}{3}MK;GK = \dfrac{1}{3}MK;MG = 2GK\)

Chọn C.

II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1.

a) + b) Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

c) Vận dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau.

Cách giải:

c) \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{2 - x}}{{ - 2}}\)

\(\begin{array}{l} - 2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {2 - x} \right)\\ - 2x + 2 = 6 - 3x\\ - 2x + 3x = 6 - 2\\x = 4\end{array}\)

Vậy \(x = 4\)

Câu 2

Phương pháp:

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \(x,y\) (cm) (điều kiện: \(x,y > 0\))

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \(x,y\) (cm) (điều kiện: \(x,y > 0\))

Theo đề bài: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt tỉ lệ với \(5\,\,;\,\,3\)  nên ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3}\)

Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là \(8\) cm nên \(2x - 3y = 8\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{2x}}{{10}} = \dfrac{{3y}}{9} = \dfrac{{2x - 3y}}{{10 - 9}} = \dfrac{8}{1} = 8\)

Khi đó, \(\dfrac{x}{5} = 8 \Rightarrow x = 40\) (tmđk)

 \(\dfrac{y}{3} = 8 \Rightarrow y = 24\) (tmđk)

Chu vi của hình chữ nhật là: \(2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 24} \right) = 128\) (cm)

Bài 3.

a) Ta có P(x) – Q(x) = (x³ – 2x² + x – 2) – (2x³ – 4x² + 3x – 6)

= x³ – 2x² + x – 2 – 2x³ + 4x² – 3x + 6

= (x³ – 2x³) + (4x² – 2x²) + (x – 3x) + (6 – 2)

= – x³– 2x² – 2x +4.

Vậy P(x) – Q(x) = – x³– 2x² – 2x +4.

b) Thay x = 2 vào đa thức P(x), ta có:

P(2) = 2³ – 2 . 2² + 2 – 2 = 8 – 2 . 4 + 0 = 8 – 8 = 0;

Thay x = 2 vào đa thức Q(x), ta có:

Q(2) = 2 . 2³ – 4 . 2² + 3 . 2 – 6 = 2 . 8 – 4 . 4 + 6 – 6

= 16 – 16 + 0 = 0.

Vậy x = 2 là nghiệm của cả hai đa thức P(x) và Q(x).

Bài 4.

Phương pháp:

a) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta AMB = \Delta DMC\left( {c.g.c} \right)\)

b) Ta sẽ chứng minh: \(\angle EIC = {90^0}\), từ đó chứng minh được \(\Delta ACE = \Delta ICE\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle ICE\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta ACE\) vuông cân tại \(A\left( {\angle EAC = {{90}^0}} \right)\)

Cách giải:

a) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,AM\) là đường trung tuyến\( \Rightarrow CM = BM\)

Ta có: \(\angle CMD = \angle AMB\) (hai góc đối đỉnh)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}CM = BM\left( {cmt} \right)\\\angle CMD = \angle AMB\left( {cmt} \right)\\AM = MD\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AMB = \Delta DMC\left( {c.g.c} \right)\)

b) Ta có: \(\Delta AMB = \Delta DMC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle ABM = \angle DCM\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc \(\angle ABM;\angle DCM\) ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow AB//CD\)

Mà \(AB \bot AC(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\)

\( \Rightarrow CD \bot AC\) tại \(C \Rightarrow EI \bot CD\) tại \(I\) (vì \(EI//AC\)) hay \(\angle EIC = {90^0}\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ICE\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle EAC = \angle EIC = {90^0}\\CE\,\,chung\\AC = IC\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ACE = \Delta ICE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle ICE\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle ICE = \angle AEC\) (vì \(AB//CD\))

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle AEC\)

\( \Rightarrow \Delta ACE\) vuông cân tại \(A\left( {\angle EAC = {{90}^0}} \right)\)

Bài 5.

Phương pháp:

Xét với \(x =  - 1\), ta tìm được mối liên hệ của \(f\left( { - 1} \right)\) và \(f\left( 1 \right)\)

Xét với \(x = 1\), ta tìm được \(f\left( 1 \right)\).

Cách giải:

+ Với \(x =  - 1\), ta có: \(f\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) =  - 1 + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( { - 1} \right) - f\left( 1 \right) = 0\\ \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = f\left( 1 \right)\end{array}\)

+ Với \(x = 1\), ta có: \(f\left( 1 \right) + 1.f\left( { - 1} \right) = 1 + 1\)

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( { - 1} \right) = 2\)

Suy ra, \(f\left( 1 \right) + f\left( 1 \right) = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2f\left( 1 \right) = 2\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1\end{array}\)

Vậy \(f\left( 1 \right) = 1\)