2. Đề thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2019

Bài 1 (1,5 điểm):

Cho parabol \(\left( P \right):y =  - \dfrac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 4\)

a) Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.

Bài 2 (1,0 điểm): Cho phương trình: \(2{x^2} - 3x - 1 = 0\) có 2 nghiệm là \({x_1};{x_2}.\)

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:  \(A = \dfrac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 1}}.\)

Bài 3 (0,75 điểm):

Quy tắc sau đây cho ta biết được ngày \(n\) , tháng \(t\) , năm 2019 là ngày thứ mấy trong tuần.

Đầu tiên, ta tính giá trị của biểu thức \(T = n + H,\) ở đây \(H\) được xác định bởi bảng sau:

Sau đó, lấy \(T\) chia có 7 ta được số dư \(r\,\left( {0 \le r \le 6} \right).\)

Nếu \(r = 0\) thì ngày đó là ngày thứ Bảy.

Nếu \(r = 1\) thì ngày đó là ngày Chủ Nhật.

Nếu \(r = 2\) thì ngày đó là ngày thứ Hai.

Nếu \(r = 3\) thì ngày đó là ngày thứ Ba.

…

Nếu \(r = 6\) ngày đó là ngày thứ 6.

Ví dụ:

+ Ngày \(31/12/2019\) có \(n = 31;\,\,t = 12;\,H = 0 \Rightarrow T = 31 + 0 = 31;\,\) Số 31 chia cho 7 có số dư là 3, nên ngày đó là thứ Ba.

a) Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định các ngày \(02/09/2019\) và \(20/11/2019\) là thứ mấy?

b) Bạn Hằng tổ chức sinh nhật của mình trong tháng \(10/2019\) . Hỏi sinh nhật của bạn Hằng là ngày mấy? Biết ngày sinh nhật của Hằng là một bội số của 3 và là thứ Hai.

Bài 4 (0,75 điểm):

Tại bề mặt đại dương, áp suất nước bằng áp suất khí quyển và là 1 atm (atmosphere). Bên dưới mặt nước, áp suất nước tăng thêm 1 atm cho mỗi 10 mét sâu xuống. Biết rằng mối liên hệ giữa áp suất \(y\,\left( {atm} \right)\) và độ sâu \(x\,\left( m \right)\) dưới mặt nước là một hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\).

a) Xác định các hệ số \(a\) và \(b\)

b) Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là \(2,85\,atm?\)

Bài 5 (1,0 điểm)

Một nhóm gồm 31 bạn học sinh tổ chức một chuyến đi du lịch (chi phí chuyến đi được chia đều cho mỗi bạn tham gia). Sau khi đã hợp đồng xong, vào giờ chót có 3 bạn lại bận việc đột xuất không đi được nên họ không đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại sẽ đóng thêm 18 000 đồng so với dự kiến ban đầu để bù lại cho 3 bạn không tham gia. Hỏi tổng chi phí chuyến đi là bao nhiêu?

Bài 6 (1,0 điểm): Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai nhóm, mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định vị GPS, họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị là hai vị trí mà hai nhóm chọn đều nằm trên cùng một kinh tuyến và lần lượt ở các vĩ tuyến \({47^0}\) và \({72^0}\)

a) Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm) giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một cung tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài khoảng 20 000 km.

b) Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của bán kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất, biết rằng trái đất có dạng hình cầu và thể tích của hình cầu được tính theo công thức \(V = \dfrac{4}{3}.3,14.{R^3}\) với \(R\) là bán kính hình cầu.

Bài 7 (1,0 điểm)

Bạn Dũng trung bình tiêu thụ 15 ca-lo cho mỗi phút bơi và 10 ca-lo cho mỗi phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng mất 1,5 giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết 1200 ca-lo. Hỏi hôm nay, bạn Dũng mất bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động?

Bài 8 (3 điểm)

Cho tam giác nhọn \(ABC\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BD\) và \(CE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H.\) Đường thẳng \(AH\) cắt \(BC\) và \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(F\) và \(K\,\left( {K \ne A} \right).\) Gọi \(L\) là hình chiếu của \(D\) lên \(AB.\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(BEDC\) nội tiếp và \(B{D^2} = BL.BA\)

b) Gọi \(J\) là giao điểm của \(KD\) và \(\left( O \right),\,(J \ne K).\) Chứng minh \(\angle BJK = \angle BDE.\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BJ\) và \(ED.\) Chứng minh tứ giác \(ALIJ\) nội tiếp và \(I\) là trung điểm của \(ED.\)

Bài 1

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị, vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị để tìm hoành độ giao điểm. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai công thức hàm số để tìm tung độ của giao điểm rồi kết luận tọa độ giao điểm.

Cách giải:

a) Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ.

Lập bảng giá trị của \(\left( P \right)\):

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(\left( P \right):\,\,y =  - \dfrac{1}{2}{x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 4; - 8} \right);\,\,\left( { - 2; - 2} \right);\,\,\left( {0;0} \right);\,\,\left( {2; - 2} \right);\,\,\left( {4; - 8} \right)\), nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Lập bảng giá trị của đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x - 4\).

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x - 4\) đi qua điểm \(\left( {0; - 4} \right);\,\,\left( {4;0} \right)\).

Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ:

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2}{x^2} = x - 4 \Leftrightarrow  - {x^2} = 2x - 8 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4x - 8 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) + 4\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y =  - 2\\x =  - 4 \Rightarrow y =  - 8\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy giao điểm của  \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(\left( {2; - 2} \right),\,\,\left( { - 4; - 8} \right)\).

Bài 2

Phương pháp:

Áp dụng định lý Vi-et để tính giá trị của biểu thức.

Cách giải:

Ta có:\({x_1},{x_2} \ne  - 1\) vì \(2.{\left( { - 1} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) - 1 = 4 \ne 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 1}} = \dfrac{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x_1^2 - 1 + x_2^2 - 1}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\, = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\end{array}\)

Theo định lý Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) , thay vào \(A\) được:

\(A = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) - 2}}{{ - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} + 1}} = \dfrac{{\dfrac{9}{4} + 1 - 2}}{{1 + 1}} = \dfrac{5}{8}\).

Vậy \(A = \dfrac{5}{8}\).

Bài 3

Phương pháp:

Sử dụng tính chất chia hết.

Cách giải:

a) +) Ngày \(02/09/2019\) có \(n = 2;\,t = 9\),\(H = 0 \Rightarrow T = n + H = 2 + 0 = 2\)

Lấy \(T = 2\) chia cho \(7\) ta được số dư là \(2\) nên ngày \(02/09/2019\) là ngày thứ hai.

+) Ngày \(20/11/2019\) có \(n = 20;\,t = 11\) suy ra \(H =  - 2 \Rightarrow T = n + H = 20 + \left( { - 2} \right) = 18\)

Lấy \(T = 18\) chia cho \(7\) ta được số dư là \(4\) nên ngày \(20/11/2019\) là ngày thứ tư.

b) Gọi ngày sinh của bạn Hằng là \(x\,\left( {1 \le x \le 30;\,x \in \mathbb{N}} \right)\)

Vì bạn Hằng sinh tháng 10 nên \(t = 10 \Rightarrow H = 2 \Rightarrow T = n + H = x + 2\)

Lại có ngày sinh của bạn Hằng là ngày thứ hai nên ta có \(T = x + 2\) chia cho \(7\) dư \(2\)

Hay \(x\) chia hết cho \(7\) suy ra \(x\) là bội số của \(7\) (1)

Lại có \(x\) là một bội số của \(3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x\) là bội chung của \(3\) và \(7\) mà \(1 \le x \le 30\) suy ra \(x = 21.\)

Vậy ngày sinh của bạn Hằng là \(21/10/2019\)

Bài 4

Phương pháp:

a) Dựa vào giả thiết bài toán suy ra các giá trị \(x,\,\,y\) tương ứng, từ đó tìm \(a,\,\,b.\)

b) Thay \(y = 2,85\) vào hàm số đã tìm được ở ý a) để tìm \(x.\)

Cách giải:

a) \(y = ax + b\) 

Tại bề mặt đại dương, áp suất nước là \(1\,atm\) nên ta có: \(1 = a.0 + b \Leftrightarrow b = 1.\)

Ở độ sâu \(10m,\) áp suất nước tăng thêm \(1\,\,atm\) nên ta có: \(2 = a.10 + 1 \Leftrightarrow 10a = 1 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{{10}}.\)

Vậy \(a = \dfrac{1}{{10}},\,\,b = 1.\)

b) Ta có hàm số biểu thị mối liên hệ giữa áp suất và độ sau dưới mặt nước là: \(y = \dfrac{1}{{10}}x + 1.\)

Người thợ lặn chịu được áp suất \(2,85\,\,atm\) nên ta có:

\(2,85 = \dfrac{1}{{10}}.x + 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{10}}x = 1,85 \Leftrightarrow x = 18,5\,\,m.\)

Vậy người thợ lặn ở độ sau \(18,5\,\,m\) thì chịu được áp suất \(2,85\,atm.\)

Bài 5

Phương pháp:

Gọi số tiền mỗi bạn đóng ban đầu là \(x\) (đồng) \(\left( {x > 0} \right)\).

Dựa vào giả thiết bài toán, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo \(x\) và lập phương trình.

Giải phương trình tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi số tiền mỗi bạn đóng ban đầu là \(x\) (đồng) \(\left( {x > 0} \right)\).

Số tiền mà \(31\) bạn phải đóng là \(31x\) (đồng).

Vào giờ chót, còn lại số bạn đi được là: \(31 - 3 = 28\)  (bạn)

Số tiền mỗi bạn phải đóng sau khi tăng là \(x + 18000\) (đồng)

Chi phí chuyến đi của \(28\) bạn lúc sau là \(28\left( {x + 18000} \right)\).

Vì chi phí chuyến đi là không đổi nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}31x = 28\left( {x + 18000} \right)\\ \Leftrightarrow 31x - 28x = 28.18000\\ \Leftrightarrow 3x = 504000\\ \Leftrightarrow x = 168000\end{array}\)

Vậy chi phí chuyến đi là: \(31.168000 = 5208000\) đồng.

Bài 6

Phương pháp:

a) Độ dài đường kinh tuyến chính là nửa chu vi của đường tròn, từ đó tính bán kính Trái Đất.

Sử dụng công thức tính độ dài cung có số đo \({n^0}:\,\,\,l = \dfrac{{\pi R{n^0}}}{{{{180}^0}}}.\)

b) Độ dài đường xích đạo là chu vi của đường tròn: \(C = 2\pi R.\)

Cách giải:

a) Ta có: \(\angle AOB = \angle XOB - \angle XOA = {72^0} - {47^0} = {25^0}.\)

Độ dài của kinh tuyến là \(20000\,km\) nên \(\pi R = 20000 \Rightarrow R = \dfrac{{20000}}{\pi }\,\,km.\)

Như vậy khoảng cách hai vị trí mà các bạn lớp 9A chọn đi là độ dài cung nhỏ \(AB\) như hình vẽ.

b) Bán kính Trái Đất là: \(R = \dfrac{{20000}}{\pi } \approx 6366,198\, \approx 6400\,km.\)

\( \Rightarrow \) Độ dài đường xích đạo là : \(2\pi R = 2\pi .\dfrac{{20000}}{\pi } = 400000\,\,km.\)

Thể tích của Trái Đất là: \(V = \dfrac{4}{3}.3,14.{R^3} = \dfrac{4}{3}.3,{14.64000^3} = 1,{0975.10^{12}}\,\,k{m^3}.\)

Bài 7

Phương pháp:

Gọi thời gian bạn Dũng dành cho hoạt động bơi là \(x\) (phút) (ĐK: \(x > 0\))

       thời gian bạn Dũng dành cho hoạt động chạy là \(y\) (phút) (ĐK: \(y > 0\)).

Dựa vào giả thiết bài toán, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo \(x,\,\,y\) và lập hệ phương trình.

Giải hệ  phương trình tìm \(x,\,\,y,\,\,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi thời gian bạn Dũng dành cho hoạt động bơi là \(x\) (phút) (ĐK: \(x > 0\))

       thời gian bạn Dũng dành cho hoạt động chạy là \(y\) (phút) (ĐK: \(y > 0\)).

Hôm nay bạn Dũng mất 1,5 giờ = 90 phút cho cả hai hoạt động nên ta có phương trình \(x + y = 90\,\,\,\left( 1 \right)\).

Lượng ca-lo tiêu thụ cho \(x\) phút bơi là \(15x\,\,\left( {ca - lo} \right)\).

Lượng ca-lo tiêu thụ cho \(y\) phút chạy là \(10y\,\,\left( {ca - lo} \right)\).

Cả 2 hoạt động trên trong 1,5h tiêu thụ hết 1200 ca-lo nên ta có phương trình \(15x + 10y = 1200\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\15x + 10y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10x + 10y = 900\\15x + 10y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 300\\y = 90 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 90 - 60 = 30\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy hôm nay bạn Dũng mất 60 phút để bơi và 30 phút để chạy.

Bài 8

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng dấu hiệu nhận biết.

b) Sử dụng định lý: Trong cùng một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau.

Chứng minh các góc tương ứng bằng nhau.

c) Chứng minh các tứ giác nội tiếp rồi chứng minh các góc bằng nhau.

a) Xét tứ giác \(BEDC\) có

+) \(\angle BEC = 90^\circ \) (do \(CE \bot AB\))

+) \(\angle BDC = 90^\circ \) (do \(BD \bot AC\))

Suy ra \(\angle BEC = \angle BDC\left( { = 90^\circ } \right)\)  nên tứ giác \(BEDC\) có hai đỉnh \(E,D\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới các góc vuông, do đó tứ giác \(BEDC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tam giác \(ABC\) có hai đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) hay \(AH \bot BC \Leftrightarrow AF \bot BC\)

+) Xét tam giác \(EBC\) vuông tại \(E\) có \(\angle EBC + \angle BCE = 90^\circ \)  (1)

+) Xét tam giác \(AFB\) vuông tại \(F\) có \(\angle FBA + \angle BAF = 90^\circ \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle BCE = \angle BAK\) (3) (cùng phụ với \(\angle ABF\))

Mà theo câu a) ta có tứ giác \(BEDC\) là tứ giác nội tiếp nên \(\angle BDE = \angle BCE\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\angle BDE = \angle BAK\) (*)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle BAK = \angle BJK\) (**) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BK\))

Từ (*) và (**) ta suy ra \(\angle BJK = \angle BDE\) (đpcm)

c)  Xét tam giác \(BDJ\) và tam giác \(BID\) có:

\(\angle BJK = \angle BDE\,\,\left( {cmt} \right)\);

\(\angle DBJ\) chung;

Lại có \(B{D^2} = BL.BA\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow BL.BA = BI.BJ \Rightarrow \dfrac{{BL}}{{BJ}} = \dfrac{{BI}}{{BA}}\).

Xét tam giác \(BLI\) và tam giác \(BJA\) có:

\( \Rightarrow \angle BLI = \angle BJA\)  (hai góc tương ứng).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ALIJ\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

+) Tứ giác \(BEDC\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AED = \angle ACB\).

Mà \(\angle ACB = \angle BJA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\)).

\( \Rightarrow \angle AED = \angle BJA\) (6)

Từ (5) và (6) \( \Rightarrow \angle BLI = \angle AED\) hay \(\angle ELI = \angle LEI \Rightarrow \Delta IEL\) cân tại \(I \Rightarrow IL = IE\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\angle ILD = {90^0} - \angle ELI\\\angle IDL = {90^0} - \angle LEI\end{array} \right. \Rightarrow \angle ILD = \angle IDL \Rightarrow \Delta ILD\) cân tại \(I \Rightarrow IL = ID\).

Vậy \(IE = ID \Rightarrow I\) là trung điểm của \(ED\,\,\left( {dpcm} \right)\).