Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán học lớp 11 - Hà Nội năm 2022-2023

Trích dẫn Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán học lớp 11 - Hà Nội năm 2022-2023

Bài I (5,0 điểm)1) Giải các phương trình sau :a)~\sin2x-4\cos x-\sin x+2=0;   b)~s i n x~c o t~2x=c o s3x.2) Giải hệ phương trình   \begin{cases}{\sqrt{5x+2y}+\sqrt{2x+y}=5}\\ {\sqrt{2x+y}+x-y=1}\\ \end{cases}.Bài II (3,0 điểm)1) Tìm số tự nhiên x thỏa mã   \frac{1}{2}A_{2x}^{2}-A_{x}^{2}\leq\frac{6}{x}C_{x}^{3}+10.2) Tìm hệ số của   x^{5}   trong khai triển   \left(x^{3}-\frac{2}{x^{2}}\right)^{5}.3) Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó có ít nhất một chữ số 1.Bài III (4,0 điểm) Cho dãy số   (u_{n})   thoả mãn   u_{1}=1,u_{n+1}=3u_{n}+2,\forall n\geq1.1) Chứng minh dãy số   (u_{n}+1)   là một cấp số nhân, tính   u_{50}.2) Chứng minh   \frac{1}{u_{1}+1}+\frac{1}{u_{2}+1}+...+\frac{1}{u_{100}+1}<\frac{3}{4}.3) Tìm công thức tổng quát của dãy số   v_{1}=1;v_{n+1}=\frac{v_{n}}{2v_{n}+3},\forall n\geq1.