chọn đúng sai và giải thích

Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \( x = 2 \). Điều kiện để hàm số \( y = \frac{ax + 2}{cx + b} \) có tiệm cận đứng là \( cx + b = 0 \). Do đó: \[ cx + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{c} \] Theo đề bài, tiệm cận đứng là \( x = 2 \), vậy: \[ -\frac{b}{c} = 2 \Rightarrow b = -2c \] b) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; 2) \) và \( (2; +\infty) \). Hàm số \( y = \frac{ax + 2}{cx + b} \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty; 2) \) và \( (2; +\infty) \) nếu đạo hàm của nó dương trên các khoảng này. Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(ax + 2)'(cx + b) - (ax + 2)(cx + b)'}{(cx + b)^2} = \frac{a(cx + b) - c(ax + 2)}{(cx + b)^2} = \frac{ab - 2c}{(cx + b)^2} \] Để hàm số đồng biến, ta cần: \[ \frac{ab - 2c}{(cx + b)^2} > 0 \] Do \( (cx + b)^2 > 0 \) luôn đúng, nên ta cần: \[ ab - 2c > 0 \] c) Với đồ thị (C) thì \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = 1 \). Ta đã biết \( b = -2c \). Giả sử \( c = 1 \), thì \( b = -2 \). Thay vào điều kiện \( ab - 2c > 0 \): \[ a(-2) - 2(1) > 0 \Rightarrow -2a - 2 > 0 \Rightarrow -2a > 2 \Rightarrow a < -1 \] Nhưng theo đề bài, \( a = 1 \), nên ta cần kiểm tra lại. Nếu \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = 1 \), ta có: \[ y = \frac{x + 2}{x - 2} \] Đồ thị này đúng với các điều kiện đã cho. d) Tổng khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C) nhỏ nhất bằng 4. Tiệm cận đứng là \( x = 2 \) và tiệm cận ngang là \( y = 1 \) (do \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 2}{x - 2} = 1 \)). Khoảng cách từ điểm \( M(x, y) \) trên đồ thị đến tiệm cận đứng \( x = 2 \) là \( |x - 2| \). Khoảng cách từ điểm \( M(x, y) \) trên đồ thị đến tiệm cận ngang \( y = 1 \) là \( |y - 1| \). Tổng khoảng cách là: \[ |x - 2| + |y - 1| \] Thay \( y = \frac{x + 2}{x - 2} \): \[ |x - 2| + \left| \frac{x + 2}{x - 2} - 1 \right| = |x - 2| + \left| \frac{x + 2 - (x - 2)}{x - 2} \right| = |x - 2| + \left| \frac{4}{x - 2} \right| \] Gọi \( t = |x - 2| \), ta có: \[ t + \frac{4}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{4}{t}} = 4 \] Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất là 4. Đáp án: d) Tổng khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C) nhỏ nhất bằng 4.