Giúp mih vớii

Để xác định phương trình nào đúng, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình đã cho. A. \( x - 2y + z = 0 \) B. \( \left\{ \begin{array}{l} x = -2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \) D. \( \frac{x-1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{1} \) Kiểm tra phương trình A: Phương trình này là một phương trình mặt phẳng trong không gian. Để kiểm tra, chúng ta cần biết các điểm hoặc thông tin khác để thay vào phương trình và kiểm tra xem có thỏa mãn hay không. Tuy nhiên, không có thông tin cụ thể về các điểm, nên chúng ta sẽ tiếp tục kiểm tra các phương trình khác. Kiểm tra phương trình B: Phương trình này là một phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Chúng ta sẽ kiểm tra xem liệu nó có thể là phương trình của một đường thẳng hay không. - \( x = -2t \) - \( y = -1 + t \) - \( z = 3 + t \) Đây là phương trình tham số của một đường thẳng, vì nó có dạng \( x = x_0 + at \), \( y = y_0 + bt \), \( z = z_0 + ct \). Kiểm tra phương trình D: Phương trình này là một phương trình của đường thẳng trong không gian dưới dạng đối xứng. Chúng ta sẽ kiểm tra xem liệu nó có thể là phương trình của một đường thẳng hay không. - \( \frac{x-1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{1} \) Đây là phương trình đối xứng của một đường thẳng, vì nó có dạng \( \frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} \). Kết luận: Cả hai phương trình B và D đều là phương trình của đường thẳng trong không gian. Tuy nhiên, phương trình B là phương trình tham số, còn phương trình D là phương trình đối xứng. Do đó, cả hai phương trình B và D đều đúng, nhưng chúng có dạng khác nhau. Đáp án: Phương trình B và D đều đúng. Câu 73. Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với đường thẳng d, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB: - Tọa độ của điểm A là \( A(1, -2, -3) \). - Tọa độ của điểm B là \( B(-1, 4, 1) \). Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ: \[ M = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2}, \frac{-3 + 1}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{2}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (0, 1, -1) \] 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d: - Đường thẳng d có phương trình: \( \frac{x+2}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z+3}{2} \). Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \( \vec{u} = (1, -1, 2) \). 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm M và song song với đường thẳng d: - Điểm M có tọa độ \( (0, 1, -1) \). - Vectơ chỉ phương của đường thẳng mới cũng là \( \vec{u} = (1, -1, 2) \). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( M(0, 1, -1) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (1, -1, 2) \) là: \[ \frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{2} \] Hay: \[ \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{2} \] Do đó, phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với đường thẳng d là: \[ \boxed{\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{2}} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{2}$ Câu 74. Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(1; -2; 3) \) và song song với hai mặt phẳng \( (P): x + y + z + 1 = 0 \) và \( (Q): x - y + z - 2 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng \( (P) \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_1 = (1, 1, 1) \). - Mặt phẳng \( (Q) \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_2 = (1, -1, 1) \). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng sẽ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_1 \) và \( \vec{n}_2 \). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = \vec{i}(1 + 1) - \vec{j}(1 - 1) + \vec{k}(-1 - 1) = 2\vec{i} + 0\vec{j} - 2\vec{k} = (2, 0, -2) \] 3. Lập phương trình đường thẳng: - Đường thẳng đi qua điểm \( A(1, -2, 3) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{d} = (2, 0, -2) \) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -2 \\ z = 3 - 2t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình đường thẳng đúng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -2 \\ z = 3 - 2t \end{array} \right. \] Đáp án đúng là: C. $\left\{\begin{array}lx=1+2t\\y=-2\\z=3-2t\end{array}\right.$ Câu 75. Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( A(0; -1; 3) \) và song song với đường thẳng \( BC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( BC \): Vectơ \( \overrightarrow{BC} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 1; 1 - 0; 2 - 1) = (-2; 1; 1) \] 2. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \( A \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{BC} \): Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( M_0(x_0, y_0, z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u}(a, b, c) \) là: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] Ở đây, \( M_0 = A(0, -1, 3) \) và \( \vec{u} = \overrightarrow{BC} = (-2, 1, 1) \). Do đó, phương trình chính tắc của đường thẳng là: \[ \frac{x - 0}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1} \] Viết gọn lại: \[ \frac{x}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1} \] 3. So sánh với các phương án đã cho: - Phương án A: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Đây là phương trình tham số, không phải phương trình chính tắc. - Phương án B: \[ \frac{x}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1} \] Đây chính là phương trình chính tắc mà chúng ta vừa tìm được. - Phương án C: \[ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1} \] Điểm \( A(0, -1, 3) \) không thỏa mãn phương trình này. - Phương án D: \[ x - 2y + z = 0 \] Đây là phương trình mặt phẳng, không phải phương trình đường thẳng. Vậy phương án đúng là phương án B. Đáp án: B. $\frac{x}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$ Câu 76. Để tìm đường thẳng đi qua điểm \( A(2;0;-1) \) đồng thời song song với mặt phẳng \( (P): x + y - 1 = 0 \) và mặt phẳng \( (Oxy) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \): Mặt phẳng \( (P): x + y - 1 = 0 \) có vectơ pháp tuyến là \( \vec{n}_P = (1, 1, 0) \). 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (Oxy) \): Mặt phẳng \( (Oxy) \) có phương trình \( z = 0 \), do đó vectơ pháp tuyến là \( \vec{n}_{Oxy} = (0, 0, 1) \). 3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: Đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Oxy) \), nên vectơ chỉ phương của đường thẳng phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến trên. Ta tính tích vector của hai vectơ pháp tuyến này: \[ \vec{u} = \vec{n}_P \times \vec{n}_{Oxy} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \vec{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \vec{j} + (1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) \vec{k} = (1, -1, 0) \] Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là \( \vec{u} = (1, -1, 0) \). 4. Lập phương trình đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm \( A(2, 0, -1) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (1, -1, 0) \). Phương trình tham số của đường thẳng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 0 - t \\ z = -1 \end{array} \right. \] So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án đúng là: B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -t \\ z = -1 \end{array} \right.\) Đáp án: B. Câu 77. Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(-2;3;-1)\) và song song với vectơ \(\overrightarrow{NP}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \(\overrightarrow{NP}\): - Điểm \(N(-1;2;3)\) - Điểm \(P(2;-1;1)\) Vectơ \(\overrightarrow{NP}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{NP} = P - N = (2 - (-1); -1 - 2; 1 - 3) = (3; -3; -2) \] 2. Lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{NP}\): - Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(-2;3;-1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{NP} = (3; -3; -2)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 3t \\ y = 3 - 3t \\ z = -1 - 2t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình đường thẳng \(d\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 3t \\ y = 3 - 3t \\ z = -1 - 2t \end{array} \right. \] Đáp án đúng là: C. \(\left\{\begin{array}{l}x = -2 + 3t \\ y = 3 - 3t \\ z = -1 - 2t \end{array}\right.\) Câu 78. Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( M(2;1;-1) \) và song song với đường thẳng \( d \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \): Đường thẳng \( d \) có phương trình tham số là: \[ \frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{-1} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) là \( \vec{u} = (-1, 2, -1) \). 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm \( M \) và có cùng vectơ chỉ phương với \( d \): Đường thẳng đi qua điểm \( M(2;1;-1) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (-1, 2, -1) \) sẽ có phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = -1 - t \end{cases} \] 3. Viết phương trình đường thẳng dưới dạng đoạn thẳng: Ta có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng đoạn thẳng như sau: \[ \frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1} \] 4. So sánh với các phương án đã cho: - Phương án A: \( \frac{x+2}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-1}{-1} \) - Phương án B: \( \frac{x}{1} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z+3}{1} \) Ta thấy rằng phương án A không đúng vì nó không đi qua điểm \( M(2;1;-1) \). Phương án B cũng không đúng vì nó không có cùng vectơ chỉ phương với đường thẳng \( d \). Do đó, phương án đúng là: \[ \frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}} \]