$\int_1^5\left|\frac{x-2}{x+1}\right|\mathrm{d}x$

Để tính tích phân $\int_1^5 \left| \frac{x-2}{x+1} \right| \, dx$, ta cần xem xét dấu của biểu thức $\frac{x-2}{x+1}$ trên khoảng từ 1 đến 5. Trước hết, ta tìm điểm mà biểu thức này thay đổi dấu: - Biểu thức $\frac{x-2}{x+1}$ sẽ thay đổi dấu khi tử số hoặc mẫu số thay đổi dấu. - Tử số $x - 2$ thay đổi dấu tại $x = 2$. - Mẫu số $x + 1$ luôn dương trong khoảng từ 1 đến 5. Do đó, ta chia tích phân thành hai phần tại điểm $x = 2$: \[ \int_1^5 \left| \frac{x-2}{x+1} \right| \, dx = \int_1^2 \left| \frac{x-2}{x+1} \right| \, dx + \int_2^5 \left| \frac{x-2}{x+1} \right| \, dx \] Trên khoảng $(1, 2)$, ta có $x - 2 < 0$, do đó $\left| \frac{x-2}{x+1} \right| = -\frac{x-2}{x+1}$. Trên khoảng $(2, 5)$, ta có $x - 2 > 0$, do đó $\left| \frac{x-2}{x+1} \right| = \frac{x-2}{x+1}$. Bây giờ, ta tính từng phần tích phân: 1. Tính $\int_1^2 -\frac{x-2}{x+1} \, dx$: \[ \int_1^2 -\frac{x-2}{x+1} \, dx = -\int_1^2 \frac{x-2}{x+1} \, dx \] Ta thực hiện phép chia: \[ \frac{x-2}{x+1} = 1 - \frac{3}{x+1} \] Do đó: \[ -\int_1^2 \frac{x-2}{x+1} \, dx = -\int_1^2 \left( 1 - \frac{3}{x+1} \right) \, dx = -\left[ x - 3 \ln |x+1| \right]_1^2 \] \[ = -\left( (2 - 3 \ln 3) - (1 - 3 \ln 2) \right) = -(2 - 3 \ln 3 - 1 + 3 \ln 2) = -1 + 3 \ln 3 - 3 \ln 2 \] \[ = -1 + 3 (\ln 3 - \ln 2) = -1 + 3 \ln \frac{3}{2} \] 2. Tính $\int_2^5 \frac{x-2}{x+1} \, dx$: \[ \int_2^5 \frac{x-2}{x+1} \, dx = \int_2^5 \left( 1 - \frac{3}{x+1} \right) \, dx = \left[ x - 3 \ln |x+1| \right]_2^5 \] \[ = (5 - 3 \ln 6) - (2 - 3 \ln 3) = 5 - 3 \ln 6 - 2 + 3 \ln 3 \] \[ = 3 - 3 (\ln 6 - \ln 3) = 3 - 3 \ln 2 \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ \int_1^5 \left| \frac{x-2}{x+1} \right| \, dx = (-1 + 3 \ln \frac{3}{2}) + (3 - 3 \ln 2) \] \[ = -1 + 3 \ln \frac{3}{2} + 3 - 3 \ln 2 \] \[ = 2 + 3 \ln \frac{3}{2} - 3 \ln 2 \] \[ = 2 + 3 (\ln \frac{3}{2} - \ln 2) \] \[ = 2 + 3 \ln \frac{3}{4} \] Vậy kết quả cuối cùng là: \[ \boxed{2 + 3 \ln \frac{3}{4}} \]