cíu em với ạ

Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình $x^2 - 2(m + 1)x + 4m = 0$ là phương trình bậc hai, do đó nó luôn có nghiệm cho mọi giá trị của $m$. Do đó, không cần đặt thêm điều kiện nào khác. 2. Áp dụng công thức Viète: Theo công thức Viète, nếu $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$, thì: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} \] Áp dụng vào phương trình $x^2 - 2(m + 1)x + 4m = 0$, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2(m + 1) \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = 4m \] 3. Thay vào biểu thức $(x_1 + m)(x_2 + m)$: Ta có: \[ (x_1 + m)(x_2 + m) = x_1 x_2 + m(x_1 + x_2) + m^2 \] Thay các giá trị từ công thức Viète vào: \[ (x_1 + m)(x_2 + m) = 4m + m[2(m + 1)] + m^2 \] Rút gọn biểu thức: \[ (x_1 + m)(x_2 + m) = 4m + 2m^2 + 2m + m^2 = 3m^2 + 6m \] 4. So sánh với biểu thức đã cho: Theo đề bài, ta có: \[ (x_1 + m)(x_2 + m) = 3m^2 + 12 \] Do đó: \[ 3m^2 + 6m = 3m^2 + 12 \] Trừ cả hai vế đi $3m^2$: \[ 6m = 12 \] Chia cả hai vế cho 6: \[ m = 2 \] Vậy giá trị của $m$ là $m = 2$. Câu 12: Để phương trình $x^2 - 2x + m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện $\Delta > 0$. Tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 3) = 4 - 4(m - 3) = 4 - 4m + 12 = 16 - 4m \] Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[ 16 - 4m > 0 \implies 4m < 16 \implies m < 4 \] Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$. Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = m - 3 \] Theo đề bài, ta có: \[ x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3 = -6 \] Ta biến đổi biểu thức trên: \[ x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3 = x_1 x_2 (x_1^2 + x_2^2) \] Biểu thức $x_1^2 + x_2^2$ có thể viết lại thành: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 2^2 - 2(m - 3) = 4 - 2m + 6 = 10 - 2m \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ x_1 x_2 (x_1^2 + x_2^2) = (m - 3)(10 - 2m) = -6 \] Phân tích và giải phương trình: \[ (m - 3)(10 - 2m) = -6 \] \[ 10m - 2m^2 - 30 + 6m = -6 \] \[ -2m^2 + 16m - 30 = -6 \] \[ -2m^2 + 16m - 24 = 0 \] \[ m^2 - 8m + 12 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \] \[ m = 6 \quad \text{hoặc} \quad m = 2 \] Kiểm tra điều kiện $m < 4$, ta thấy chỉ có $m = 2$ thỏa mãn. Vậy giá trị của $m$ là: \[ \boxed{2} \] Câu 13: Để phương trình \(x^2 + 4x - m^2 - 5m = 0\) có nghiệm sao cho \(|x_1 - x_2| = 4\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: Phương trình \(x^2 + 4x - m^2 - 5m = 0\) là phương trình bậc hai. Để phương trình này có nghiệm, ta cần tính delta (\(\Delta\)) và đảm bảo \(\Delta \geq 0\). \[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m^2 - 5m) = 16 + 4(m^2 + 5m) \] \[ \Delta = 16 + 4m^2 + 20m \] Ta cần \(\Delta \geq 0\): \[ 16 + 4m^2 + 20m \geq 0 \] Chia cả hai vế cho 4: \[ 4 + m^2 + 5m \geq 0 \] Điều này luôn đúng vì \(m^2 + 5m + 4\) là một tam thức bậc hai có biệt thức \(\Delta' = 25 - 16 = 9 > 0\), do đó nó luôn lớn hơn hoặc bằng 0. 2. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Các nghiệm của phương trình \(x^2 + 4x - m^2 - 5m = 0\) là: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4m^2 + 20m}}{2} \] \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{4 + m^2 + 5m}}{2} = -2 \pm \sqrt{4 + m^2 + 5m} \] 3. Tính khoảng cách giữa hai nghiệm: Ta có: \[ |x_1 - x_2| = \left|(-2 + \sqrt{4 + m^2 + 5m}) - (-2 - \sqrt{4 + m^2 + 5m})\right| \] \[ |x_1 - x_2| = \left|2\sqrt{4 + m^2 + 5m}\right| = 2\sqrt{4 + m^2 + 5m} \] Theo đề bài, ta có: \[ 2\sqrt{4 + m^2 + 5m} = 4 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \sqrt{4 + m^2 + 5m} = 2 \] Bình phương cả hai vế: \[ 4 + m^2 + 5m = 4 \] \[ m^2 + 5m = 0 \] \[ m(m + 5) = 0 \] Vậy \(m = 0\) hoặc \(m = -5\). Kết luận: Giá trị của \(m\) để phương trình \(x^2 + 4x - m^2 - 5m = 0\) có nghiệm sao cho \(|x_1 - x_2| = 4\) là \(m = 0\) hoặc \(m = -5\). Câu 14: Để phương trình \(x^2 - 2x + m + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\), ta cần điều kiện \(\Delta > 0\). Tính \(\Delta\): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 3) = 4 - 4(m + 3) = 4 - 4m - 12 = -4m - 8 \] Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[ -4m - 8 > 0 \implies -4m > 8 \implies m < -2 \] Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = m + 3 \] Ta cần tìm \(m\) sao cho \(x_1^3 + x_2^3 = 8\). Ta sử dụng công thức: \[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) \] Biến đổi \(x_1^2 + x_2^2\) theo Vi-et: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 2^2 - 2(m + 3) = 4 - 2m - 6 = -2m - 2 \] Do đó: \[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1 x_2) = 2((-2m - 2) - (m + 3)) = 2(-2m - 2 - m - 3) = 2(-3m - 5) \] Theo đề bài, ta có: \[ 2(-3m - 5) = 8 \implies -3m - 5 = 4 \implies -3m = 9 \implies m = -3 \] Kiểm tra điều kiện \(m < -2\): \[ m = -3 < -2 \] Vậy giá trị của \(m\) thỏa mãn là: \[ \boxed{-3} \]