cíu em với ạ

Câu 9: Để chứng minh phương trình \(x^2 - (2m + 1)x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) với mọi \(m\), ta xét dấu của biệt thức \(\Delta\): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (2m + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) \] \[ \Delta = (2m + 1)^2 + 12 \] Vì \((2m + 1)^2 \geq 0\) với mọi \(m\), nên \(\Delta > 0\) với mọi \(m\). Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) với mọi \(m\). Tiếp theo, ta tìm \(m\) sao cho \(|x_1| - |x_2| = 5\) và \(x_1 < x_2\). Theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có: \[ x_{1,2} = \frac{(2m + 1) \pm \sqrt{\Delta}}{2} \] Do \(x_1 < x_2\), ta có: \[ x_1 = \frac{(2m + 1) - \sqrt{\Delta}}{2}, \quad x_2 = \frac{(2m + 1) + \sqrt{\Delta}}{2} \] Ta xét trường hợp \(x_1 < 0\) và \(x_2 > 0\): \[ |x_1| = -x_1 = -\left( \frac{(2m + 1) - \sqrt{\Delta}}{2} \right) = \frac{-2m - 1 + \sqrt{\Delta}}{2} \] \[ |x_2| = x_2 = \frac{(2m + 1) + \sqrt{\Delta}}{2} \] Do đó: \[ |x_1| - |x_2| = \frac{-2m - 1 + \sqrt{\Delta}}{2} - \frac{(2m + 1) + \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-2m - 1 + \sqrt{\Delta} - 2m - 1 - \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-4m - 2}{2} = -2m - 1 \] Theo đề bài, ta có: \[ -2m - 1 = 5 \] Giải phương trình này: \[ -2m - 1 = 5 \implies -2m = 6 \implies m = -3 \] Vậy \(m = -3\) là giá trị thỏa mãn điều kiện \(|x_1| - |x_2| = 5\) và \(x_1 < x_2\). Đáp số: \(m = -3\). Câu 10: Ta có: \[x_1 - x_2 = 3 \quad \text{(1)}\] \[x_1^3 - x_2^3 = 9 \quad \text{(2)}\] Áp dụng hằng đẳng thức: \[x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)\] Thay (1) vào (2): \[9 = 3(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)\] \[x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = 3 \quad \text{(3)}\] Bây giờ, ta xét phương trình bậc hai: \[x^2 + ax + b = 0\] Theo định lý Vi-et: \[x_1 + x_2 = -a \quad \text{(4)}\] \[x_1x_2 = b \quad \text{(5)}\] Từ (1), ta có: \[x_1 = x_2 + 3 \quad \text{(6)}\] Thay (6) vào (3): \[(x_2 + 3)^2 + (x_2 + 3)x_2 + x_2^2 = 3\] \[x_2^2 + 6x_2 + 9 + x_2^2 + 3x_2 + x_2^2 = 3\] \[3x_2^2 + 9x_2 + 9 = 3\] \[3x_2^2 + 9x_2 + 6 = 0\] \[x_2^2 + 3x_2 + 2 = 0\] Giải phương trình bậc hai này: \[x_2 = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2}\] \[x_2 = -1 \quad \text{hoặc} \quad x_2 = -2\] - Nếu \(x_2 = -1\), từ (6) ta có \(x_1 = 2\). - Nếu \(x_2 = -2\), từ (6) ta có \(x_1 = 1\). Với \(x_1 = 2\) và \(x_2 = -1\): \[a = -(x_1 + x_2) = -(2 - 1) = -1\] \[b = x_1x_2 = 2 \times (-1) = -2\] Với \(x_1 = 1\) và \(x_2 = -2\): \[a = -(x_1 + x_2) = -(1 - 2) = 1\] \[b = x_1x_2 = 1 \times (-2) = -2\] Vậy các giá trị của \(a\) và \(b\) là: \[ (a, b) = (-1, -2) \quad \text{hoặc} \quad (1, -2) \] Câu 11: Để phương trình \(4x^2 + (m^2 + 2m - 15)x + (m + 1)^2 - 20 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2 + 2019 = 0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\), trong đó \(\Delta = b^2 - 4ac\). Ở đây, \(a = 4\), \(b = m^2 + 2m - 15\), và \(c = (m + 1)^2 - 20\). Ta tính \(\Delta\): \[ \Delta = (m^2 + 2m - 15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot ((m + 1)^2 - 20) \] \[ \Delta = (m^2 + 2m - 15)^2 - 16((m + 1)^2 - 20) \] Bước 2: Áp dụng điều kiện \(x_1^2 + x_2 + 2019 = 0\). Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{m^2 + 2m - 15}{4} \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{(m + 1)^2 - 20}{4} \] Từ \(x_1^2 + x_2 + 2019 = 0\), ta có: \[ x_1^2 = -x_2 - 2019 \] Bước 3: Thay \(x_1^2\) vào phương trình ban đầu. \[ 4(-x_2 - 2019) + (m^2 + 2m - 15)x_2 + (m + 1)^2 - 20 = 0 \] \[ -4x_2 - 8076 + (m^2 + 2m - 15)x_2 + (m + 1)^2 - 20 = 0 \] \[ (m^2 + 2m - 19)x_2 + (m + 1)^2 - 8096 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình này để tìm \(x_2\). \[ x_2 = \frac{8096 - (m + 1)^2}{m^2 + 2m - 19} \] Bước 5: Thay \(x_2\) vào \(x_1 + x_2 = -\frac{m^2 + 2m - 15}{4}\) để tìm \(x_1\). \[ x_1 = -\frac{m^2 + 2m - 15}{4} - \frac{8096 - (m + 1)^2}{m^2 + 2m - 19} \] Bước 6: Kiểm tra điều kiện \(\Delta > 0\) và tính toán cụ thể để tìm giá trị của \(m\). Sau khi kiểm tra các điều kiện và tính toán cụ thể, ta tìm được giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Câu 12: Để phương trình \(x^2 - (m + 2)x + m + 8 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_2 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: Phương trình \(x^2 - (m + 2)x + m + 8 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt khi: - \(\Delta > 0\) - \(S > 0\) - \(P > 0\) Trong đó: - \(\Delta = (m + 2)^2 - 4(m + 8)\) - \(S = m + 2\) - \(P = m + 8\) Ta tính \(\Delta\): \[ \Delta = (m + 2)^2 - 4(m + 8) = m^2 + 4m + 4 - 4m - 32 = m^2 - 28 \] Điều kiện \(\Delta > 0\): \[ m^2 - 28 > 0 \implies m^2 > 28 \implies |m| > \sqrt{28} \implies m < -\sqrt{28} \text{ hoặc } m > \sqrt{28} \] Điều kiện \(S > 0\): \[ m + 2 > 0 \implies m > -2 \] Điều kiện \(P > 0\): \[ m + 8 > 0 \implies m > -8 \] Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \[ m > \sqrt{28} \quad (\text{vì } m > -2 \text{ và } m > -8 \text{ đều thoả mãn khi } m > \sqrt{28}) \] 2. Thỏa mãn điều kiện \(x_1^3 - x_2 = 0\): Điều này có nghĩa là \(x_1^3 = x_2\). Do đó, ta có: \[ x_2 = x_1^3 \] Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình \(x^2 - (m + 2)x + m + 8 = 0\): \[ x_1 + x_2 = m + 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = m + 8 \] Thay \(x_2 = x_1^3\) vào các phương trình trên: \[ x_1 + x_1^3 = m + 2 \] \[ x_1 \cdot x_1^3 = m + 8 \implies x_1^4 = m + 8 \] Từ đây, ta có: \[ m = x_1^4 - 8 \] Thay \(m = x_1^4 - 8\) vào phương trình \(x_1 + x_1^3 = m + 2\): \[ x_1 + x_1^3 = x_1^4 - 8 + 2 \implies x_1 + x_1^3 = x_1^4 - 6 \] Đặt \(y = x_1\), ta có phương trình: \[ y + y^3 = y^4 - 6 \] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ y^4 - y^3 - y - 6 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị \(y\) để tìm nghiệm của phương trình này. Thử \(y = 2\): \[ 2^4 - 2^3 - 2 - 6 = 16 - 8 - 2 - 6 = 0 \] Vậy \(y = 2\) là nghiệm của phương trình. Do đó, \(x_1 = 2\). Thay \(x_1 = 2\) vào \(m = x_1^4 - 8\): \[ m = 2^4 - 8 = 16 - 8 = 8 \] Vậy giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_2 = 0\) là \(m = 8\). Đáp số: \(m = 8\).