Trả lời phần câu hỏi ôn tập chương 1: Căn bậc hai, căn bậc ba trang 39 SGK toán 9 tập 1

Câu 1

Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ.

Lời giải chi tiết:

Để \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm thì \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a.\) 

Ví dụ: số 2 là căn bậc hai số học của 4 vì \(2 > 0\) và \(2^2 = 4.\) 

Câu 2

Chứng minh \(\sqrt {a^2} = |a|\) với mọi số a.

Phương pháp giải:

Nếu \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a\) thì \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm. 

Lời giải chi tiết:

Ta xét hai trường hợp:

+) Nếu \(a > 0 \Rightarrow \left| a \right| = a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = a\)

+) Nếu \(a < 0 \Rightarrow \left| a \right| =  - a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = {\left( { - a} \right)^2} = {a^2}\)

Hay ta luôn có \({\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}\left( 1 \right)\) mà \(\left| a \right| \ge 0\) với mọi \(a\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left| a \right|\) là căn bậc hai số học của \({a^2}\) hay \(\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|\)

Câu 3

Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để \(\sqrt A \) xác định? 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt A \) xác định khi \(A \ge 0\) hay nói cách khác : điều kiện xác định của căn bậc hai là biểu thức lấy căn không âm. 

Câu 4

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ. 

Phương pháp giải:

Nếu \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a\) thì \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm. 

Lời giải chi tiết:

Định lí: Nếu \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\) thì \(\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b \)

Chứng minh:  Vì \(a \ge 0,b \ge 0 \Rightarrow ab \ge 0,\) do đó \(\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt {ab} \) đều xác định

Ta có: \({\left( {\sqrt a .\sqrt b } \right)^2} = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.{\left( {\sqrt b } \right)^2} = a.b\)

Do \(\sqrt a  \ge 0,\sqrt b  \ge 0 \Rightarrow \sqrt a .\sqrt b  \ge 0\)

Vậy \(\sqrt a .\sqrt b \) là căn bậc hai số học của tích \(ab\) 

Hay \(\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} \)

Ví dụ: \(\sqrt {49.36}  = \sqrt {49} .\sqrt {36} \)\( = 7.6 = 42\)

Câu 5

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ. 

Phương pháp giải:

Nếu \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a\) thì \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm. 

Lời giải chi tiết:

Định lý: Nếu \(a \ge 0,b > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\)

Chứng minh:

Do \(a \ge 0,b > 0\) nên \(\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) xác định

Ta có: \({\left( {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \dfrac{a}{b}\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\sqrt a  \ge 0,\sqrt b  > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} \ge 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) là căn bậc hai số học của \(\dfrac{a}{b} \)

Hay \(\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) 

Ví dụ: \(\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}}  = \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{4}{9}\); \(\dfrac{{\sqrt {32} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{32}}{2}}  = \sqrt {16}  = 4\)