Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian

1. Phương trình tham số

Đường thẳng \(∆\) qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) có vectơ chỉ phương  \(\overrightarrow{a}\)(a₁ ; a₂ ; a₃) có phương trình tham số dạng:

\(\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+ a_{1}t & & \\ y= y_{0}+a_{2}t & & \\ z=z_{0}+a_{3}t & & \end{matrix}\right.\), t ∈ R là tham số.

Nếu \({a_1},\;{a_2},\;{a_3}\) đều khác không, ta viết phương trình trên ở dạng chính tắc:

\(\dfrac{x-x_{0}}{a_{1}}=\dfrac{y-y_{0}}{a_{2}}=\dfrac{z-z_{0}}{a_{3}}.\)

2. Vị trí tương đối

Cho đường thẳng \({\Delta _1}\) qua điểm \(\;{M_1}\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}\), đường thẳng \({\Delta _2}\) qua điểm \(\;{M_2}\)  và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}\).

* \({\Delta _1}\)  và \({\Delta _2}\) chéo nhau \(\Leftrightarrow \;{\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)  không nằm trong cùng một mặt phẳng ⇔ \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\neq 0\).

* \({\Delta _1}\)  và \({\Delta _2}\)  song song ⇔ \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}=k\overrightarrow{u_{2}}\\ M_{1}\in \Delta _{1}\\ M_{2}\notin \Delta _{1} \end{matrix}\right.\).

* \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\)    ⇔ \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\), \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) là ba vectơ cùng phương.

* \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\)  ⇔ \(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương và \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\overrightarrow{M_{1}M_{2}}= 0\).