Lý thuyết dao động điều hòa

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I. Lí thuyết về dao động điều hòa

1. DAO ĐỘNG CƠ

- Dao động cơ: Là chuyển động qua lại quanh một vị trí đặc biệt gọi là vị trí cân bằng.

-  Dao động tuần hoàn: Là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định.

Dao động điều hòa: Là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin (hay sin) của thời gian.

2.PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

\[x = Ac{\text{os(}}\omega {\text{t + }}\varphi {\text{)}}\]

Trong đó:

+ x: li độ của dao động

+ A: biên độ dao động

+ ω: tần số góc của dao động (đơn vị: rad/s)

+ ωt+φ: pha của dao động tại thời điểm t (đơn vị: rad)

+ φ: pha ban đầu của dao động

3. CÁC ĐẠI LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

- Chu kì T: Là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần.

Đơn vị của chu kì : s (giây)

- Tần số f: Là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây.

Đơn vị của tần số: Hz (héc)

- Tần số góc ω: Là đại lượng liên hệ với chu kì T hay với tần số f bằng hệ thức: $\omega = \dfrac{{2\pi }}{T} = 2\pi f$

Đơn vị của tần số góc: rad/s

- Một chu kì dao động vật đi được quãng đường là S = 4A

- Chiều dài quỹ đạo chuyển động của vật là L = 2A

- Vận tốc:

$v = x' = - \omega A\sin (\omega t + \varphi ) = \omega Acos(\omega t + \varphi + \dfrac{\pi }{2})$

+ Tại VTCB: vận tốc có độ lớn cực đại: ${v_{{\text{max}}}} = \omega A$. 

+ Tại biên: vận tốc tốc bằng 0

+ Vận tốc nhanh pha hơn li độ một góc $\dfrac{\pi }{2}$ và vận tốc đổi chiều tại biên độ.

- Gia tốc:

$a = v' = - {\omega ^2}A\cos (\omega t + \varphi ) = - {\omega ^2}x = {\omega ^2}A\cos (\omega t + \varphi + \pi )$

+ Véc tơ gia tốc luôn luôn hướng về vị trí cân bằng

+ Có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ: $\left| a \right| \sim \left| x \right|$

+ Tại biên: gia tốc có độ lớn cực đại ${a_{{\text{max}}}} = {\omega ^2}A$ , tại VTCB gia tốc bằng 0

+ Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc một góc $\dfrac{\pi }{2}$ và ngược pha so với li độ.

* Mô phỏng đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc của dao động điều hòa

Ghi chú:

+ Công thức mối liên hệ giữa x, A, v hay A, a, v độc lập với thời gian:

\(\begin{array}{l}x = A\cos (\omega t + \varphi ) \to \cos (\omega t + \varphi ) = \dfrac{x}{A}{\rm{                       }}(1)\\v = x' =  - \omega A\sin (\omega t + \varphi ) \to \sin (\omega t + \varphi ) =  - \dfrac{v}{{A\omega }}{\rm{       }}(2)\\a = v' =  - {\omega ^2}A\cos (\omega t + \varphi ) \to \cos (\omega t + \varphi ) =  - \dfrac{a}{{{\omega ^2}A}}{\rm{   }}(3)\end{array}\) 

Từ (1) và (2):    

$ \to {\cos ^2}(\omega t + \varphi ) + {\sin ^2}(\omega t + \varphi ) = {(\dfrac{x}{A})^2} + {( - \dfrac{v}{{A\omega }})^2} = 1$

\({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}\)

Từ (2) và (3):

$ \to {\cos ^2}(\omega t + \varphi ) + {\sin ^2}(\omega t + \varphi ) = {(\dfrac{a}{{A{\omega ^2}}})^2} + {( - \dfrac{v}{{A\omega }})^2} = 1$

\({A^2} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}\)

Những công thức suy ra từ các giá trị cực đại:

$\left\{ \begin{gathered}{v_{{\text{max}}}} = A\omega  \hfill \\{a_{{\text{max}}}} = A{\omega ^2} \hfill \\\end{gathered}  \right. \to \omega  = \dfrac{{{a_{{\text{max}}}}}}{{{v_{{\text{max}}}}}},A = \dfrac{{{v_{{\text{max}}}}^2}}{{{a_{{\text{max}}}}}}$

$\overline v  = \dfrac{s}{t} = \dfrac{{4A}}{T} = \dfrac{{4A\omega }}{{2\pi }} = \dfrac{{2{v_{{\text{max}}}}}}{\pi }$ (trong đó $\overline v $ là tốc độ trung bình trong một chu kì)

4. MỐI LIÊN HỆ GIỮA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU

DĐĐH được xem là hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều lên một trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Với: $A = R;\omega  = \dfrac{v}{R}$.

- Bước 1: Vẽ đường tròn (O, R = A);

- Bước 2: t = 0: xem vật đang ở đâu và bắt đầu chuyển động theo chiều âm hay dương

+ Nếu $\varphi  > 0$: vật chuyển động theo chiều âm (về biên âm)

+ Nếu $\varphi  < 0$: vật chuyển động theo chiều dương (về biên dương)

- Bước 3: Xác định điểm tới để xác định góc quét $\alpha $: $\Delta t = \dfrac{{\alpha .T}}{{{{360}^0}}} \Rightarrow \alpha  = \dfrac{{\Delta t{{.360}^0}}}{T}$

Phương pháp tổng quát nhất để tính vận tốc, đường đi, thời gian, hay vật qua vị trí nào đó trong quá trình dao động. Ta cho t = 0 để xem vật bắt đầu chuyển động từ đâu và đang đi theo chiều nào, sau đó dựa vào các vị trí đặc biệt trên để tính. 

5. ĐỒ THỊ CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin

- Đồ thị cho trường hơp φ = 0.

-  Lược đồ pha ban đầu φ theo các vị trí đặc biệt x0:

II. Sơ đồ tư duy lý thuyết về dao động điều hòa