Câu hỏi mục III trang 85

Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): 2x + y– 4 = 0 và điểm M(-1; 1). Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng \(\Delta \).

a) Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng MH.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng MH.

c) Tìm toạ độ của H. Từ đó, tính độ dài đoạn thẳng MH.

Lời giải chi tiết:

a) Do MH vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên ta có vecto chỉ phương của MH là: \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\)

b) Phương trình tham số của đường thẳng MH đi qua \(M\left( { - 1;1} \right)\) có vecto chỉ phương\(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 1 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

c) H là giao điểm của MH và đường thẳng \(\Delta \)

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\2x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\) . Vậy tọa độ điểm H là: \(H\left( {1;2} \right)\)

Độ dài đoạn thẳng MH là: \(MH = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{2^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 \)

a) Tính khoảng cách từ điểm \(O\left( {0{\rm{;}}0} \right)\) đến đường thẳng  \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1\)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \({\Delta _1}:x - y + 1 = 0\)và \({\Delta _2}:x - y - 1 = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\)

Vậy khoảng cách từ O đến \(\Delta \) là: \(d\left( {O;\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.0 - 2.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)

b) Lấy \(M\left( {0;1} \right) \in {\Delta _1}\)

Suy ra: \(d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \)