Câu hỏi mục 2 trang 8, 9, 10, 11

Cho các hệ phương trình

(1) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\\\;\,\quad 3y - z = 2\\\quad \,\quad \;\;\,2z = 3\end{array} \right.\)

(2) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\\\;\,\;\;\;\;2y + z =  - 1\\\;\;\;\;\;\,2y - z =  - 4\end{array} \right.\)

a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.

b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình thứ hai chỉ có 2 ẩn y, z còn phương trình ba chỉ có 1 ẩn z.

Giải hệ phuơng trình:

Từ phương trình thứ ba suy ra \(z = \frac{3}{2}\).

Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(3y - \frac{3}{2} = 2 \Leftrightarrow y = \frac{7}{6}\)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(2x - \frac{7}{6} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y;z) = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};\frac{3}{2}} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z =  - 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,2y - z =  - 4\;\;(3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z =  - 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,\quad \;\,2z = 3\;\;(3.1)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (3.1) ta có \(z = \frac{3}{2}\).

Thay \(z = \frac{3}{2}\) vào phương trình (2) ta được: \(2y + \frac{3}{2} =  - 1 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 5}}{4}\)

Thay \(z = \frac{3}{2}\) và \(y = \frac{{ - 5}}{4}\) vào phương trình (1) ta được: \(2x - \frac{{ - 5}}{4} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 7}}{8}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{{ - 7}}{8};\frac{{ - 5}}{4};\frac{3}{2}} \right)\)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + 2y - z =  - 2\\x - 3y + z = 3\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\\x + 2y - z = 1\\2x - 3y + 3z = 2\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\\x - 4y + 2z =  - 1\\4x - y + 3z = 1\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y - z =  - 2\quad (2)\\x - 3y + z = 3\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y - z =  - 2\quad (2)\\\quad y - z =  - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3.1) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y - z =  - 3\quad (2.1)\\\quad y - z =  - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y - z =  - 3\quad (2.1)\\\quad \;3y =  - 1\quad \quad \,(3.2)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (3.2) ta có \(y = \frac{{ - 1}}{3}\)

Thay \(y = \frac{{ - 1}}{3}\) vào phương trình (2.1) ta được \(z = \frac{5}{3}\)

Thay \(y = \frac{{ - 1}}{3}\) và \(z = \frac{5}{3}\) vào phương trình (1) ta được \(x = \frac{1}{3}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\quad \quad (1)\\x + 2y - z = 1\quad \;\;\quad (2)\\2x - 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\quad \quad (1)\\3x - y + 2z = 3\quad \quad (2.1)\\2x - 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\x - 4y + 2z =  - 1\;(2)\\4x - y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (2) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\\4x - y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -4, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(3.1)\end{array} \right.\)

Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2.1), ta có \(z = 3y - 1\), thay vào phương trình (1) ta được \(x =  - 2y + 1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 2y + 1;y;3y - 1)\) với \(y \in \mathbb{R}\).

Tìm phương trình của parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)biết (P) đi qua ba điểm \(A(0; - 1),B(1; - 2),C(2; - 1).\)

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ 3 điểm \(A(0; - 1),B(1; - 2),C(2; - 1)\) vào phương trình của parabol ta được hệ phương trình:

  \(\left\{ \begin{array}{l}\quad \quad c =  - 1\quad \quad (1)\\a + b + c =  - 2\quad \;(2)\\4a + 2b + c =  - 1\quad (3)\end{array} \right.\)

Thay \(c =  - 1\) vào phương trình (2) và (3) ta được hệ PT:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b - 1 =  - 2\quad \;(2)\\4a + 2b - 1 =  - 1\quad (3)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b =  - 1\quad \;(2)\\4a + 2b = 0\quad (3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -2, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b =  - 1\quad \;(2)\\\quad 2a = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (3.1) ta có \(a = 1\)

Thay \(a = 1\) vào PT (2) ta được \(b =  - 2\)

Vậy phương trình của parabpol (P) là \(y = {x^2} - 2x - 1\)