Câu hỏi mục 1 trang 47, 48, 49, 50

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

a) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì các điểm có tọa độ \(({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc hypebol (H.3.12).

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?

c) Với điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol, hãy so sánh \(\left| {{x_0}} \right|\) với \(a\)

Lời giải chi tiết:

a) Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

hay các điểm có tọa độ \(({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc Hypebol.

b)

\(y = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow x =  \pm a\)

Giao điểm của hypebol với Ox là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right).\)

\(x = 0 \Rightarrow  - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) Vô lý vì \( - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \le 0 < 1\)

Vậy hypebol không có giao điểm với trục tung.

c) \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow {x_0}^2 \ge {a^2}\\ \Leftrightarrow \left| {{x_0}} \right| \ge a\end{array}\)

Cho hyperbol \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\).

a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục

b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Trong đó:

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

+ Độ dài trục thực, trục ảo: \(2a,2b\)

+ Hai đỉnh \({A_1}( - a;0),{A_2}(a;0)\)

+ Hai đường tiệm cận \(y =  - \frac{b}{a}x\) và \(y = \frac{b}{a}x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có hypebol: \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

\( \Rightarrow a = 8,b = 6,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 10\)

a) + Tiêu cự: \(2c = 20\)

+ Độ dài trục thực: \(2a = 16\); trục ảo \(2b = 12.\)

b) + Hai đỉnh \({A_1}( - 8;0),{A_2}(8;0)\)

+ Hai đường tiệm cận \(y =  - \frac{3}{4}x\) và \(y = \frac{3}{4}x\)