Câu hỏi mục 1 trang 26, 27

Hãy quan sát các đẳng thức sau:

\(1 = {1^2}\)

\(1 + 3 = 4 = {2^2}\)

\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\)

\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\)

\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\)

……

Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên

\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).\)

Lời giải chi tiết:

Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.
Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.

=> Tổng \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\) là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:

\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}.\)

Xét đa thức \(p(n) = {n^2} - n + 41.\)

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.

Lời giải chi tiết:

a) \(p(1) = {1^2} - 1 + 41 = 41\) là một số nguyên tố

\(p(2) = {2^2} - 2 + 41 = 43\) là một số nguyên tố

\(p(3) = {3^2} - 3 + 41 = 47\) là một số nguyên tố

\(p(4) = {4^2} - 4 + 41 = 53\) là một số nguyên tố

\(p(5) = {5^2} - 5 + 41 = 61\) là một số nguyên tố

b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với \(n \in \mathbb{N}*\)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có

\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:

\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh

\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)

Thật vậy ta có

\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức

\({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\)

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\)

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\)

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:

\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\)

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh

\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\)

Thật vậy ta có

\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} - {a^k}b + {a^k}b - {b^{k + 1}} = {a^k}(a - b) + b({a^k} - {b^k})\\ = {a^k}(a - b) + b(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\\ = (a - b)[{a^k} + b({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + {a^{k - 2}}{b^2} + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)