Bài 81 trang 18 SBT toán 9 tập 1

LG câu a

\( \displaystyle{{\sqrt a  + \sqrt b } \over {\sqrt a  - \sqrt b }} + {{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\( \displaystyle{{\sqrt a  + \sqrt b } \over {\sqrt a  - \sqrt b }} + {{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }} \) \( \displaystyle= {{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}\) 

\( \displaystyle = {{a + 2\sqrt {ab}  + b + a - 2\sqrt {ab}  + b} \over {a - b}}\)

\( \displaystyle = {{2(a + b)} \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \( a \ne b\))

LG câu b

\( \displaystyle{{a - b} \over {\sqrt a  - \sqrt b }} - {{\sqrt {a^3} - \sqrt {{b^3}}  } \over {a - b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\) 

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \( \displaystyle{{a - b} \over {\sqrt a  - \sqrt b }} -{{\sqrt {a^3} - \sqrt {{b^3}}  } \over {a - b}}\)

\( \displaystyle={{(a - b)(\sqrt a  + \sqrt b)} \over {(\sqrt a  - \sqrt b).(\sqrt a  + \sqrt b) }} \)\( \displaystyle-{{\sqrt {a^2.a} - \sqrt {{b^2.b}}  } \over {a - b}}\)

\( \displaystyle = {{(a - b)(\sqrt a  + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} - {{a\sqrt a  - b\sqrt b } \over {a - b}}\)

\( \displaystyle = {{a\sqrt a  + a\sqrt b  - b\sqrt a  - b\sqrt b } \over {a - b}} - {{a\sqrt a  - b\sqrt b } \over {a - b}}\)

\( \displaystyle = {{a\sqrt a  + a\sqrt b  - b\sqrt a  - b\sqrt b  - a\sqrt a  + b\sqrt b } \over {a - b}}\)

\( \displaystyle = {{a\sqrt b  - b\sqrt a } \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))

Chú ý: Ta cũng có thể biến đổi tiếp \( \displaystyle {{a\sqrt b  - b\sqrt a } \over {a - b}}\) như sau:

\( \displaystyle  {{a\sqrt b  - b\sqrt a } \over {a - b}}\)\( \displaystyle = {{\sqrt {a^2b}  - \sqrt {ab^2} } \over {(\sqrt a  - \sqrt b).(\sqrt a  + \sqrt b)}}\)

\( \displaystyle = {{\sqrt {ab} .( \sqrt {a}- \sqrt {b}) } \over {(\sqrt a  - \sqrt b).(\sqrt a  + \sqrt b)}}\)

\( \displaystyle = {{\sqrt {ab} } \over {\sqrt a  + \sqrt b}}\)