Bài 79 trang 92

Đề bài

Cho tam giác ABC (AB < AC). Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm E nằm trong tam giác ABC sao cho E cách đều hai cạnh AB, BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Điểm E không nằm trên tia phân giác của góc B.

b) \(\widehat {EBC} = \widehat {ECB}\).

c) Điểm E cách đều AB, BC, CA.

d) Điểm E nằm trên tia phân giác của góc C.

Lời giải chi tiết

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của E trên BC, AB, AC.

Khi đó EM ⊥ BC, EN ⊥ AB, EP ⊥ AC và EN = EM.

• Xét ∆BNE và ∆BME có:

\(\widehat {{\rm{BNE}}} = \widehat {BME}\left( { = 90^\circ } \right)\)

EN = EM (giả thiết),

BE là cạnh chung

Do đó ∆BNE = ∆BME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {{\rm{NBE}}} = \widehat {MBE}\) (hai góc tương ứng)

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ABC.

Do đó phát biểu a là sai.

•Vì AF là tia phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{\rm{BAE}}} = \widehat {CAE}\)

Xét DANE và DAPE có:

\(\widehat {{\rm{ANE}}} = \widehat {APE}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AE là cạnh chung,

\(\widehat {{\rm{NAE}}} = \widehat {PAE}\) (chứng minh trên).

Do đó ∆ANE = ∆APE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra EN = EP (hai cạnh tương ứng).

Mà EN = EM (giả thiết)

Nên EM = EN = EP hay điểm E cách đều ba cạnh AB, BC, CA.

Do đó phát biểu c là đúng.

• Xét hai ∆CPE và ∆CME có:

\(\widehat {CPE} = \widehat {CME}\left( { = 90^\circ } \right)\)

EP = EM (chứng mình trên),

CE là cạnh chung

Do đó ∆CPE = ∆CME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {{\rm{PCE}}} = \widehat {MCE}\) (hai góc tương ứng).

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ACB.

Do đó phát biểu d là đúng.

• Do AB < AC nên \(\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\) (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Khi đó \(\widehat {EBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} < \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \widehat {ECB}.\)

Do đó phát biểu b là sai.

Vậy a, b là phát biểu sai; c, d là phát biểu đúng.