Bài 78 trang 114 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(AHB\) có \(\widehat H = 90^\circ ,\widehat A = 30^\circ \) và \(BH = 4cm.\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AH\) tại \(O.\) Vẽ đường tròn \((O; OH)\) và đường tròn \((O; OA).\)

\(a)\) Chứng minh đường tròn \((O; OH)\) tiếp xúc với cạnh \(AB.\)

\(b)\) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tính chất tia phân giác của một góc: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

+) Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với \(\tan\) góc đối.

+) Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với \(\cos\) góc kề.

+) Diện tích \(S\) của một hình tròn bán kính \(R\) được tính theo công thức: \(S=\pi.R^2\).

Lời giải chi tiết

\(a)\) Kẻ \(OK \bot AB\) tại \(K\) 

Vì \(BO\) là đường phân giác của \(\widehat B\) (gt)

\( \Rightarrow OK = OH\) (tính chất đường phân giác)

Suy ra: \(OK\) cũng là bán kính của đường tròn \((O;OH)\)

Vậy đường tròn \((O; OH)\) tiếp xúc với \(AB\) tại \(K.\) 

\(b)\) \(\Delta AHB\) có \(\widehat H = {90^0}\); \(\widehat A = {30^0}\)

Suy ra: \(\widehat B = {60^0} \Rightarrow \widehat {ABO} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat B = {30^0}\)

Suy ra: \(∆OAB\) cân tại \(O\) nên \(OB = OA\)

Vậy \(B \in (O; OA)\)

\(∆BHO\) có \(\widehat H = {90^0}\); \(\widehat {OBH} = {30^0}\)

\(OH = BH.\tan {30^0} \)\(=\displaystyle  4.{{\sqrt 3 } \over 3} = {{4\sqrt 3 } \over 3}\;\;(cm)\)

\(OB = \displaystyle {{BH} \over {\cos \widehat {OBH}}} \)\(= \displaystyle {4 \over {\cos {{30}^0}}} = {4 \over \displaystyle {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{8\sqrt 3 } \over 3}\) \((cm)\)

Diện tích đường tròn nhỏ: \(S_1=\displaystyle \pi {\left( {{{4\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{16\pi } \over 3}\)  \((cm^2)\)

Diện tích đường tròn lớn: \({S_2} = \displaystyle \pi {\left( {{{8\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{64\pi } \over 3}\) \((cm^2)\)

Diện tích hình vành khăn:

\(S={S_2} - {S_1} = \displaystyle {{64\pi } \over 3} - {{16\pi } \over 3} \)\(=\displaystyle  {{48\pi } \over 3} = 16\pi \) \((cm^2)\)