Giải bài 7 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Mỗi tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Số tập hợp con có 0 phần tử là: \(1 = C_{12}^0\) (tập rỗng)

Số tập hợp con có 1 phần tử là: \(C_{12}^1\)

Số tập hợp con có k phần tử là: \(C_{12}^k\)

\( \Rightarrow \)Số tập hợp con của tập hợp có 12 phần tử là: \(C_{12}^0 + C_{12}^1 + C_{12}^2 + ... + C_{12}^{12}\)

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({\left( {1 + x} \right)^{12}} = C_{12}^0 + C_{12}^1x + C_{12}^2{x^2} + ... + C_{12}^{12}{x^{12}}\)

Thay \(x = 1\) ta được \(C_{12}^0 + C_{12}^1 + C_{12}^2 + ... + C_{12}^{12} = {2^{12}} = 4096\)

Cách 2:

Ta chứng minh bằng quy nạp công thức: Tập hợp A có n phần tử thì có \({2^n}\) tập con.

Bước 1: Với \(n = 0\) ta có A là tập rỗng có duy nhất \(1 = {2^0}\) tập con là tập rỗng.

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 0\)

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:

Tập hợp A có k phần tử thì có \({2^k}\) tập con

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh

Tập hợp A có \(k + 1\) phần tử thì có \({2^{k + 1}}\) tập con

Thật vậy chọn ra k phần tử của A, từ đó tạo thành \({2^k}\) tập con theo giả thiết quy nạp. Ngoài ra, với mỗi tập trong  \({2^k}\)tập này, ta bổ sung thêm phần tử thứ k+1 còn lại vào mỗi tập. Ta thu được thêm \({2^k}\)tập nữa. Do đó ta được tất cả \({2^k} + {2^k} = {2.2^k} = {2^{k + 1}}\) tập con

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \in \mathbb{N}\)

Như vậy tập có 12 phần tử thì có tất cả \({2^{12}} = 4096\) tập con.