Bài 64 trang 15 SBT toán 9 tập 1

LG câu a

Chứng minh: 

\(x + 2\sqrt {2x - 4}  = {\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) với \(x \ge 2\);

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: 

\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

\(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

\(VP = {\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) (với \(x \ge 2\))

\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}\)\(  + {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}\)

\(= 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2  \)

\( x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} =VT\)

\(=>VP=VT(đpcm)\)

Cách  2:

Ta có: 

\(VT= x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} \)
\(= 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2  \)

\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}\)\(  + {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}\)

\( = {\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) (với \(x \ge 2\))=VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

LG câu b

Rút gọn biểu thức:

\(\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \) với \(x \ge 2\).

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: 

\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Ta có: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

Với \(A \ge 0\) thì ta có \(\left| A \right| = A\)

Với \(A < 0\) thì ta có \(\left| A \right| = -A\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \)

\( = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + x - 2}\)\(  + \sqrt {2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + x - 2} \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)}^2}}\)\(  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - \sqrt {x  - 2} }\right)}^2}} \)

\( = \left| {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right| + \left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right|\)

\( = \sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right|\)

+) Nếu \(\sqrt 2  - \sqrt {x - 2}  \ge 0\) thì 

\(\eqalign{
& \sqrt {x - 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \cr 
& \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr} \)

Với \(2 \le x \le 4\) thì \(\left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt 2  - \sqrt {x - 2} \)

Ta có: \( \sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right|\)

\(=\sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \sqrt 2  - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 \)

+) Nếu \(\sqrt 2  - \sqrt {x - 2}  < 0\) thì 

\(\sqrt {x - 2}  > \sqrt 2  \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4\)

Với \(x > 4\) thì \(\left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt {x - 2}  - \sqrt 2 \)

Ta có: \( \sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right|\)

\(=\sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 2}  - \sqrt 2\)\(  = 2\sqrt {x - 2} \)