Bài 59 trang 136 Vở bài tập toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, BC, CD, DA.\) Các đường chéo \(AC, BD\) của tứ giác \(ABCD\) có điều kiện gì thì \(EFGH\) là:

a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?      

c) Hình vuông?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng:

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

- Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Lời giải chi tiết

Trước hết ta chứng minh \(EF//GH//AC,\,EH//FG//BD,\) \(EF=HG= \dfrac{1}{2}AC,\) \(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\) 

Thật vậy: \(\Delta ABC\) có \(EB = EA, FB = FC\) 

Suy ra \(EF //AC, EF =  \dfrac{1}{2} AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(\Delta ADC\) có \(HD = HA, GD = GC\)

Suy ra \(HG // AC, HG =  \dfrac{1}{2}AC\)

Do đó \(EF //HG//AC\).

Chứng minh tương tự ta có \(EH//FG//BD\).

Ta có:

\( EF =  \dfrac{1}{2} AC\) (chứng minh trên)

\(HG =  \dfrac{1}{2}AC\) (chứng minh trên)

Do đó \(EF=HG= \dfrac{1}{2}AC\).

Chứng minh tương tự \(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\).

a) Theo chứng minh trên, \(EFGH\) là hình bình hành có \(EF//AC; EH//BD\).

Do đó:

Hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật \(⇔EF  ⊥ EH⇔ AC ⊥ BD\)

b) Theo chứng minh trên, \(EFGH\) là hình bình hành có \(EF = \dfrac{1}{2}AC,EH = \dfrac{1}{2}BD\). Do đó: Theo dấu hiệu nhận biết hình thoi thì

Hình bình hành \(EFGH\) là hình thoi \(⇔ EF = EH⇔AC = BD\)

c) \(EFGH\) là hình vuông \(⇔\) \(EFGH\) vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

\(\Rightarrow AC ⊥ BD\) và \(AC = BD\).

Giải thích:  \(EH//FG//BD\) và \(EH=FG=\dfrac{1}{2}BD\).

\(EB = EA, AH = HD\) (gt)

Do đó \(EH\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\).

Suy ra \(EH //BD, EH =   \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(CF = FB, GD = GC\) (gt)

Do đó \(FG\) là đường trung bình của tam giác \(BDC\).

Suy ra \(FG // BD, FG =  \dfrac{1}{2} BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)