Giả sử \(AC\) là đường chéo lớn của hình bình hành \(ABCD.\) Từ \(C\), vẽ đường vuông góc \(CE\) với đường thẳng \(AB\), đường vuông góc \(CF\) với đường thẳng \(AD\) (\(E,F \) thuộc phần kéo dài của các cạnh \(AB\) và \(AD\)). Chứng minh rằng: \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Dựng \(BG ⊥ AC.\)

Xét \(∆ BGA\) và \(∆ CEA\) có:

+) \(\widehat {BGA} = \widehat {CEA} = 90^\circ \)

+) \(\widehat A\) chung

\( \Rightarrow ∆ BGA\) đồng dạng \(∆ CEA \) (g.g)

\( \displaystyle\Rightarrow {{AB} \over {AC}} = {{AG} \over {AE}}\)

\(\Rightarrow AB.AE = AC.AG\) (1)

Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cặp góc so le trong)

Xét \(∆ BGC\) và \(∆ CFA\) có:

+) \(\widehat {BGC} = \widehat {CFA} = 90^\circ \)

+) \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cmt)

\(\Rightarrow ∆ BGC\) đồng dạng \(∆ CFA\) (g.g)

\( \displaystyle\Rightarrow {{AF} \over {CG}} = {{AC} \over {BC}}\)

\(\Rightarrow BC.AF = AC.CG\)

Mà \(BC = AD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\(\Rightarrow AD.AF = AC.CG \) (2)

Cộng từng vế của đẳng thức (1) và (2) ta có:

\(AB.AE + AD.AF\)\(\, = AC.AG + AC.CG\)

\( \Rightarrow AB.AE + AD.AF \)\(\,= AC\left( {AG + CG} \right)\)

Lại có: \(AG + CG = AC\) nên \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024