Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\), \(Q\) lần lượt thuộc các cạnh \(CD\), \(BC\) (\(P\), \(Q\) không là trung điểm của \(CD\), \(BC\)). Chứng minh rằng nếu \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng \(MQ\), \(NP\) và \(AC\) cùng đi qua một điểm.

2. Phương pháp giải

Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\). Ta suy ra rằng \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), từ đó suy ra \(I \in MQ\) và điều phải chứng minh.

3. Lời giải chi tiết

Xét \(\left( {ADC} \right)\), do \(P\) không là trung điểm của \(CD\), nên đường thẳng \(NP\) cắt đường thẳng \(AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\).

Ta có \(I \in \left( {MNPQ} \right)\) (do \(I\) nằm trên \(NP\)) và \(I \in \left( {ABC} \right)\) (do \(I\) nằm trên \(AC\)). Như vậy \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Ta nhận thấy rằng \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MNPQ} \right)\\M \in AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)\), và

\(\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( {MNPQ} \right)\\Q \in BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).

Do đó giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là đường thẳng \(MQ\).

Mà \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), nên \(I \in MQ\).

Vậy \(MQ\), \(NP\) và \(AC\) cùng đi qua điểm \(I\).

Bài toán được chứng minh.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024