Bài 56 trang 38 SBT toán 8 tập 1

\(\displaystyle {x \over {{x^2} - 4}} + {3 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Phương pháp giải:

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Cho giá trị biểu thức bằng \(0\); giải rồi tìm giá trị của \(x\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4 \ne 0\\
{\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ne 0\\
x + 2 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 \ne 0\\
x + 2 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 2\\
x \ne - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow x\ne \pm 2\)

Ta có: 

\(\displaystyle {x \over {{x^2} - 4}} + {3 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\(\displaystyle  = {x \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {3 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\(\displaystyle  = {{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right)} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(\displaystyle  = {{{x^2} + 2x + 3x - 6} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\( = \dfrac{{{x^2} + 5x - 6}}{{\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(\displaystyle  = {{{x^2} - x + 6x - 6} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\(\displaystyle  = {{x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \)\(\displaystyle = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right)} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Biểu thức bằng \(0\) khi \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0\) 

Ta có: \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \)

\(\Rightarrow x - 1=0 \) hoặc \(x +6=0\)

\(\Rightarrow x = 1 \) (thỏa mãn) hoặc \(x =  - 6\) (thỏa mãn)

Vậy với \(x = 1\) hoặc \(x = - 6\) thì giá trị của biểu thức bằng \(0\).

\(\displaystyle {1 \over {{x^2} + x + 1}} + x - 1\) 

Phương pháp giải:

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Cho giá trị biểu thức bằng \(0\); giải rồi tìm giá trị của \(x\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \({x^2} + x + 1 \ne 0.\) 

Ta có: \({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.\displaystyle {1 \over 2} + {1 \over 4} + {3 \over 4}\)\(\displaystyle  = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ne 0\) với mọi \(x\).

Do đó: \(\displaystyle {1 \over {{x^2} + x + 1}} + x - 1\)\(\displaystyle  = {{1 + \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {{x^2} + x + 1}}\)\(\displaystyle  = {{1 + {x^3} - 1} \over {{x^2} + x + 1}} = {{{x^3}} \over {{x^2} + x + 1}}\)

Biểu thức bằng \(0\) khi \({x^3} = 0\) \( \Rightarrow x = 0\)

Vậy với \(x = 0\) thì giá trị của biểu thức bằng \(0\).