Câu hỏi 5 - Mục bài tập trang 18

1. Nội dung câu hỏi

So sánh các cặp số sau:

a) \(\sqrt 3 \) và \(\sqrt[5]{{27}}\);

b) \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^4}\) và \({\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^3}\);

c) \(\sqrt[3]{{\frac{1}{5}}}\) và \(\sqrt[5]{{25}}\);

d) \(\sqrt[9]{{0,{7^{10}}}}\) và \(\sqrt[{10}]{{0,{7^9}}}\).

3. Lời giải chi tiết 

a) Ta có: \(\sqrt 3  = {3^{\frac{1}{2}}},\sqrt[5]{{27}} = \sqrt[5]{{{3^3}}} = {3^{\frac{3}{5}}}\)

Vì \(3 > 1\) nên hàm số \(y = {3^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và \(\frac{1}{2} < \frac{3}{5}\) nên \({3^{\frac{1}{2}}} < {3^{\frac{3}{5}}}\) hay \(\sqrt 3  < \sqrt[5]{{27}}\).

b) Ta có: \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^8},{\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^9}\)

Vì \(\frac{1}{3} < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và \(8 < 9\) nên \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^8} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^9}\) hay \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^4} > {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^3}\).

c) Ta có: \(\sqrt[3]{{\frac{1}{5}}} = {5^{\frac{{ - 1}}{3}}},\sqrt[5]{{25}} = {5^{\frac{2}{5}}}\)

Vì \(5 > 1\) nên hàm số \(y = {5^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và \(\frac{{ - 1}}{3} < \frac{2}{5}\) nên \({5^{\frac{{ - 1}}{3}}} < {5^{\frac{2}{5}}}\) hay \(\sqrt[3]{{\frac{1}{5}}} < \sqrt[5]{{25}}\).

d) Ta có: \(\sqrt[9]{{0,{7^{10}}}} = 0,{7^{\frac{{10}}{9}}},\sqrt[{10}]{{0,{7^9}}} = 0,{7^{\frac{9}{{10}}}}\)

Vì \(0 < 0,7 < 1\) nên hàm số \(y = 0,{7^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và \(\frac{{10}}{9} > \frac{9}{{10}}\) nên \(0,{7^{\frac{{10}}{9}}} < 0,{7^{\frac{9}{{10}}}}\) hay \(\sqrt[9]{{0,{7^{10}}}} < \sqrt[{10}]{{0,{7^9}}}\).