Bài 43 trang 94 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng, nếu hai tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) đồng dạng với nhau thì:

a) Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

b) Tỉ số của hai trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a)

Gọi \(AD\) là phân giác của góc \(A\) của \(∆ ABC\), \(A'D'\) là phân giác của góc \(A'\) của \(∆ A'B'C'\).

Giả sử \(∆ A’B’C’ \backsim ∆ ABC\) theo tỉ số \(k\) ta có:

\(\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'};\widehat C = \widehat {C'}\) và \(\displaystyle {{A'B'} \over {AB}} = k\)

Mà \(\displaystyle \widehat {BAD} = {1 \over 2}\widehat A\) (vì \(AD\) là phân giác góc \(A\)) và \(\displaystyle \widehat {B'A'D'} = {1 \over 2}\widehat A\)  (vì \(A'D'\) là tia phân giác góc \(A'\)).

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'}\)

Xét \(∆ ABD\) và \(∆ A’B’D’\) có:

+) \(\widehat B = \widehat {B'}\) (chứng minh trên )

+) \(\widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'}\) (chứng minh trên )

\( \Rightarrow ∆ ABD  \backsim  ∆ A’B’D’ \) (g.g)

\( \displaystyle \Rightarrow {{A'D'} \over {AD}} = {{A'B'} \over {AB}} = k\).

b) Gọi \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) của \(∆ ABC\), \(A'M'\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(B'C'\) của \(∆ A’B’C’\).

Giả sử \(∆ A’B’C’ \backsim ∆ ABC\) theo tỉ số \(k\) ta có: \(\displaystyle {{A'B'} \over {AB}}={{B'C'} \over {BC}} = k\)

Mà \(\displaystyle B'M' = {1 \over 2}B'C'\) (vì \(M\) là trung điểm \(BC\)) và \(\displaystyle BM = {1 \over 2}BC\) (vì \(M'\) là trung điểm \(B'C'\)) nên \(\displaystyle {{B'M'} \over {BM}}=  \dfrac{{\dfrac{1}{2}B'C'}}{{\dfrac{1}{2}BC}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = k\)

Xét \(∆ ABM\) và \(∆ A’B’M’\) có:

+) \(\displaystyle {{A'B'} \over {AB}} = {{B'M'} \over {BM}} = k\)

+) \(\displaystyle \widehat B = \widehat {B'}\) (chứng minh trên )

\( \Rightarrow ∆ ABM \backsim ∆ A’B’M’\) (c.g.c)

\( \displaystyle \Rightarrow {{A'M'} \over {AM}} = {{A'B'} \over {AB}} = k\).