Bài 43 trang 111 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình:

Biết:

\(\widehat {ACE} = 90^\circ, \)\(AB = BC = CD = DE = 2cm.\) 

Hãy tính:

a) \(AD, BE;\) 

b) \(\widehat {DAC}\);

c) \(\widehat {BXD}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Định lí Pytago vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\): 

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}.\) 

+) Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 \(\sin \alpha  = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha  = \dfrac{{AC}}{{BC}};\)\(\tan \alpha  = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha  = \dfrac{{AC}}{{AB}}.\) 

Lời giải chi tiết

a) Ta có: 

\(AC = AB + BC = 2 + 2 = 4\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ACD\), ta có:

\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2}\)\( = {4^2} + {2^2} = 16 + 4 = 20\)

\( \Rightarrow AD = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)\)

Mặt khác: \(CE = CD + DE \)\(= 2 + 2 = 4\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BEC\), ta có:

\(B{E^2} = B{C^2} + C{E^2}\)\( = {2^2} + {4^2} = 4 + 16 = 20\) 

\( \Rightarrow BE = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)\) 

b) Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) nên ta có:

\(\displaystyle tg\widehat {DAC} = {{CD} \over {AC}}\)\( = \dfrac{2 }{4} = \dfrac{1}{ 2}\)

Suy ra: \(\widehat {DAC} \approx 26^\circ 34'\)

c) Xét tam giác ADC vuông tại C, ta có: \(\widehat {CDA} = 90^\circ  - \widehat {CAD}\)\( \approx 90^\circ  - 26^\circ 34' = 63^\circ 26'\)

Xét hai tam giác ACD và ECB, ta có:

\(AC = EC \,(= 4cm)\)

\(BC = DC \,(= 2 cm)\)

\(AD = EB \,(= 2\sqrt 5 \left( {cm} \right))\)

Suy ra: \(ΔACD = ΔECB\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \widehat {CBE}= \widehat {CDA} = 63^\circ 26'\)

Trong tứ giác \(BCDX,\) ta có: 

\(\widehat {BXD} = 360^\circ  - (\widehat C + \widehat {CDA} + \widehat {CBE})\)

\( = 360^\circ  - (90^\circ  + 63^\circ 26' + 63^\circ 26')\)\( = 143^\circ 8'.\)