Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(P\) và \(R\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(A’D’\). Gọi \(P’, Q, Q’,R'\) lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành \(ABCD, CDD’C’\), \(A’B’C’D’, ADD’A’\)

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {PP'} + \overrightarrow {QQ'} + \overrightarrow {R{\rm{R}}'} = \overrightarrow 0 \)

b) Chứng minh hai tam giác \(PQR\) và \(P’Q’R’ \) có trọng tâm trùng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Biểu diễn các véc tơ trong biểu thức cần chứng minh về các véc tơ cơ sở của hình hộp và tính toán.

b) Sử dụng kết quả câu a, chú ý gọi \(G,G'\) là các trọng tâm rồi chứng minh \(G\) trùng \(G'\) hay \(\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có :\(\overrightarrow {PP'} = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow {QQ'} = {1 \over 2}\overrightarrow {DA'} ,\) \(\overrightarrow {R{\rm{R}}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {A'A} \)

Vậy: \(\overrightarrow {PP'} + \overrightarrow {QQ'} + \overrightarrow {R{\rm{R}}'}\) \( = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {DA'} + \overrightarrow {A'A} } \right) = \overrightarrow 0 \)

b) Gọi \(G\) và \(G’ \) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(PQR\) và \(P’Q’R’\).

Theo câu a) ta có: \(\overrightarrow {PP'} + \overrightarrow {QQ'} + \overrightarrow {R{\rm{R}}'} = \overrightarrow 0 \)

Do đó:

\(\left( {\overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'P'} } \right) \) \(+ \left( {\overrightarrow {QG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'Q'} } \right) \) \(+ \left( {\overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'R'} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \underbrace {\left( {\overrightarrow {PG} + \overrightarrow {QG} + \overrightarrow {RG} } \right)}_{\overrightarrow 0 } + 3\overrightarrow {GG'} \) \( + \underbrace {\left( {\overrightarrow {G'P'} + \overrightarrow {G'Q'} + \overrightarrow {G'R'} } \right)}_{\overrightarrow 0 } = \overrightarrow 0 \)

\(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \) ⟹\(G\) trùng với \(G’\)

Vậy hai tam giác \(PQR \) và \(P’Q’R’\) có cùng trọng tâm.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5. Khoảng cách

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024