Bài 36 trang 138 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì ? vì sao ?

c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC 

d) Dây AD vuông góc với BC tại vị trí nào thì EF có độ dài lớn nhất ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xét khoảng cách giữa hai tâm và tổng hoặc hiệu hai bán kính rồi xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

b) Chứng minh tứ giác có ba góc vuông dựa vào kiến thức : “Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

c) Dùng hệ thức lượng về chiều cao và độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền : h2=b′.c′h2=b′.c′

d) Ta cần chứng minh KF⊥EFKF⊥EF và IE⊥EF.IE⊥EF.

e) Biểu diễn độ dài EFEF theo độ dài của ADAD rồi biện luận để tìm vị trí của dây đó vuông góc với BCBC.

Lời giải chi tiết

a) Đường tròn (I)(I) có bán kính là BI.BI.

Đường tròn (O)(O) có bán kính là OB.OB.

Ta có OI=OB−BIOI=OB−BI nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

- Đường tròn (K)(K) có bán kính là KC.KC.

Đường tròn (O)(O) có bán kính là OC.OC.

Ta có OK=OC−KCOK=OC−KC nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

- Đường tròn (I)(I) có bán kính là IH.IH.

Đường tròn (K)(K) có bán kính là HK.HK.

Ta có IK=IH+HKIK=IH+HK nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

b) ^BAC=90oˆBAC=90o vì tam giác ABCABC nội tiếp đường tròn đường kính AB.AB.

^AEH=90oˆAEH=90o vì HE⊥AB,^AFH=90oHE⊥AB,ˆAFH=90ovì HE⊥AC.HE⊥AC.

Tứ giác AEHFAEHF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

c) Tam giác AHBAHB vuông tại H,H, đường cao AHAH nên AE.AB=AH2(1)AE.AB=AH2(1)

Tam giác AHCAHC vuông tại  H,H, đường cao AHAH nên AF.AC=AH2(2)AF.AC=AH2(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE.AB=AF.ACAE.AB=AF.AC

d) Ta cần chứng minh KF⊥EFKF⊥EF và IE⊥EF.IE⊥EF.

Gọi GG là giao điểm của AHAH và EF,EF, ta có AEHFAEHF là hình chữ nhật (theo câu b), do đó GH=GA;GF=GE,GH=GA;GF=GE, mà AH=EFAH=EF nên GH=GF,GH=GF, suy ra ^GFH=^GHF(3)ˆGFH=ˆGHF(3)

Tam giác KHFKHF cân tại KK nên ^KFH=^KHF(4)ˆKFH=ˆKHF(4)

Từ (3) và (4) suy ra  ^GFH+^KFH=^GHF+^KHF,ˆGFH+ˆKFH=ˆGHF+ˆKHF, tức là ^GFK=^AHK.ˆGFK=ˆAHK.

Ta lại có ^AHK=90oˆAHK=90o nên ^GFK=90o.ˆGFK=90o.

Đường thẳng EFEF vuông góc với bán kính FKFK tại FF nên EFEF là tiếp tuyến của (K).(K).

Chứng minh tương tự, EF là tiếp tuyến của (I).

Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

e) Theo tính chất hình chữ nhật, EF=AH.

Đường kính BC vuông góc với dây AD nên AH=HD=12AD.

Suy ra EF=12AD.

Do đó EF lớn nhất ⇔AD lớn nhất. Ta có AD là dây của đường tròn (O), do đó AD lớn nhất khi AD là đường kính , khi đó điểm H trùng với điểm O.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại điểm O thì EF có độ dài lớn nhất.