Bài 3.1 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{12}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

a) Xác định các đỉnh và độ dài các trục của elip

b) Xác định tâm sai và các đường chuẩn của elip

c) Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip, biết điểm M có hoành độ bằng -3.

Lời giải chi tiết

Ta có phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{12}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

\( \Rightarrow a = 2\sqrt 3 ,b = 2,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 2 \)

a)

+ 4 đỉnh: \({A_1}\left( { - 2\sqrt 3 ;0} \right),{A_2}\left( {2\sqrt 3 ;0} \right),\)\({B_1}\left( {0; - 2} \right),{B_2}\left( {0;2} \right).\)

+ Độ dài trục lớn: \(2a = 4\sqrt 3 \), độ dài trục nhỏ: \(2b = 4.\)

b)

+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{{2\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x =  - \frac{{2\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 6 }}{3}}} =  - 3\sqrt 2 \) và \({\Delta _2}:x = 3\sqrt 2 \).

c) Bán kính qua tiêu của M (x; y):

\(M{F_1} = 2\sqrt 3  + \frac{{\sqrt 6 }}{3}.( - 3) = 2\sqrt 3  - \sqrt 6 ,\;M{F_2} = 2\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.( - 3) = 2\sqrt 3  + \sqrt 6 .\)