Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng \(97\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:

\({\left( {a + b} \right)^n} \)

\(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \)

\(+ C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(a=x^2, b=-\dfrac{2}{x}\).

Tính tổng các hệ số của ba số hạng đầu đồng nhất với giá trị đề bài cho để tìm \(n\).

Sau đó thay \(n\) vào khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số, sử dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: \(x^m.x^n=x^{m+n}\); \(\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\); \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}\) để thu gọn biểu thức.

Để tìm hệ số của \(x^4\) ta cho số mũ của \(x\) bằng \(4\), giải phương trình tìm \(k\) và tính hệ số của \(x^4\).

Lời giải chi tiết

Ta có \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} +\)

\(C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) +\)

\(C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...\)

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 8.\)

Từ đó ta có: \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} \)

SHTQ: \(T_{k+1}= {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} }\)

\( = C_8^k.{x^{16 - 2k}}.\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^k}}} \) \(= C_8^k{x^{16 - 2k - k}}{\left( { - 2} \right)^k}\)

\(={{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \).

Số hạng chứa \(x^4\) ứng với \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4.\)

Do đó hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 4. Phép thử và biến cố

Bài 5. Xác suất của biến cố

Bài tập ôn tập chương II

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024