Trong mặt phẳng (α) , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng (α) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.

a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng (α) xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.

b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.

c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tam giác vuông khi quay cạnh huyền quanh một cạnh góc vuông sẽ tạo thành một mặt nón.

Nửa đường tròn khi quay quanh đường kính sẽ tạo thành một mặt cầu.

b) Xác định giao điểm của cạnh BC với nửa đường tròn, từ đó suy ra giao tuyến và tính bán kính của đường tròn giao tuyến đó.

c) Sử dụng các công thức:

- Diện tích toàn phần hình nón: $S_{t p} = S_{x q} + S_{d} = π r l + π r^{2}$ .

- Diện tích mặt cầu $S = 4 π R^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Tam giác vuông ABC có BC = 2a và AC = a nên ta suy ra $\hat{A B C} = 30^{0}$ .

Khi quay xung quanh trục AB cạnh BC tạo nên mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh bằng 600 và có đường tròn đáy có bán kính AC = a.

Khi xoay xung quanh trục AB nửa đường tròn đường kính AB tạo nên mặt cầu có tâm là trung điểm I của đoạn AB và bán kính $r = \frac{A B}{2}$ .

b) Khi quay xung quanh trục AB, giao điểm M của nửa đường tròn đường kính AB và cạnh CD sẽ tạo nên giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.

Vẽ $M H ⊥ A B$ .

Ta có: $\frac{M H}{M B} = \frac{C A}{C B} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}$

Mặt khác ta có CA2 = CM. CB nên ta có $C M = \frac{a^{2}}{2 a} = \frac{a}{2}$

Do đó $B M = C B - C M = 2 a - \frac{a}{2} = \frac{3}{2} a$ và $M H = \frac{3}{4} a$

c) Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón và S2 là diện tích mặt cầu.

Ta có: $S_{1} = π r l + π r^{2} = 2 π a^{2} + π a^{2} = 3 π a^{2}$

$S_{2} = 4 π r^{2} = 4 π (I A)^{2}$ $= 4 π (\frac{a \sqrt{3}}{2})^{2} = 3 π a^{2}$

Vậy S₁ = S₂

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Câu hỏi trắc nghiệm chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024