Bài 2.24 trang 76 SBT đại số và giải tích 11

Một lớp có \(50\) học sinh. Tính số cách phân công \(4\) bạn quét sân trường và \(5\) bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức

\(C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5.\)

Phương pháp giải:

Ta có: \(VT\) là \(C_{50}^9.C_9^4\) nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động:

- Hành động thứ nhất là cách chọn \(9\) bạn từ \(50\) bạn

- Hành động thứ hai là cách chọn \(4\) bạn từ \(9\) bạn.

\(VT\) là \(C_{50}^4.C_{46}^5\) nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động

- Hành động thứ nhất là cách chọn \(4\) bạn từ \(50\) bạn

- Hành động thứ hai là cách chọn \(5\) bạn từ \(46\) bạn.

Từ đó ta rút ra được hai cách để phân công các bạn đi làm việc

- Cách thứ nhất là chọn \(9\) bạn trong \(50\) bạn trước rồi chọn \(4\) bạn quét sân, \(5\) bạn kia sẽ xén cây.

- Cách thứ hai là chọn  luôn \(4\) bạn trong \(50\) bạn quét sân, và \(5\) trong \(46\) bạn còn lại xén cỏ.

Để tính số cách chọn ra \(9\) bạn làm việc cho hai cách ta sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Cách thứ nhất: Chọn \(9\) bạn nam trong \(50\) bạn để làm trực nhật. Có \(C_{50}^9\) cách.

Khi đã chọn được \(9\) bạn rồi, chọn \(4\) trong \(9\) bạn đó để quét sân. Có \(C_9^4\) cách.

Từ đó, theo quy tắc nhân, có \(C_{50}^9.C_9^4\) cách phân công.

Cách thứ hai: Chọn \(4\) trong \(50\) bạn để quét sân, sau đó chọn \(5\) trong \(46\) bạn còn lại để xén cây. Vậy có \(C_{50}^4.C_{46}^5\) cách phân công.

Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.

Chứng minh công thức Niu-tơn

\(C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}.{\rm{   }}\left( {n \ge r \ge k \ge 0} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) để chứng minh công thức Niu-tơn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(VT = C_n^rC_r^k \)

\(= \dfrac{{n!}}{{r!(n - r)!}}\dfrac{{r!}}{{k!(r - k)!}}\)

\(=\dfrac{{n!}}{{ (n - r)!k!(r - k)!}} \)

\(VT = C_n^kC_{n-k}^{r-k}= \)

\(\dfrac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\dfrac{{(n-k)!}}{{(r-k)![n-k-(r - k)]!}}\)

\(= \dfrac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\dfrac{{(n-k)!}}{{(r-k)!(n-r)!}}\)

\(=\dfrac{{n!}}{{ k!(r - k)!(n - r)!}} \)

\(=VT\text{(đpcm)}\)

Cách khác:

Xét bài toán: Một lớp có n học sinh. Tính số cách để chọn ra r bạn trực nhật mà có k bạn quét sân và r-k bạn xén cây.

Giải:

Cách 1:

Số cách chọn ra r bạn trong n bạn là \(C_n^r\)

Số cách chọn ra k trong r bạn để quét sân là \(C_r^k\).

Sau khi chọn xong k bạn quét sân thì các bạn còn lại tự động vào nhóm xén cây nên có 1 cách.

Do đó có \(C_n^r.C_r^k\) cách chọn.

Cách 2:

Số cách chọn k bạn để quét sân trong số n học sinh của lớp là \(C_n^k\).

Số cách chọn r-k bạn xén cây trong số n-k bạn còn lại là \(C_{n - k}^{r - k}\).

Theo quy tắc nhân có \(C_n^k.C_{n - k}^{r - k}\) cách chọn.

Vậy \(C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}\)

Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng

\(S = 0! + 2! + 4! + 6! + ... + 100!.\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\text{P}=\text{n}!=1.2.3.4…\text{n}\) để tìm chữ số tận cùng của từng số hạng rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0! = 1\); \(2! = 2\); \(4! = 1.2.3.4 = 24\); \(6!=1.2.3.4.5.6=720\) (tận cùng là \(0\));...

Tương tự với các số hạng tiếp theo ta có các số hạng \(6!\); \(8!\);...\(100!\) đều có tận cùng là chữ số \(0\). Vì trong biểu thức khai triển tính giai thừa có \(4\times5=20\) (tận cùng là \(0\)). Do đó chữ số ở  hàng đơn vị của \(S\) là \(1 + 2 + 4 = 7\).