Bài 22 trang 158 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) \((h. 184).\) Đường phân giác của các góc \(A\) và \(C\) cắt đường chéo \(BD\) tại \(E, \,F.\)

a) Chứng minh rằng hai hình \(ABCFE\) và \(ADCFE\) có cùng diện tích.

b) Các hình đó có phải đa giác lồi không? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \({S_{ABE}} = {S_{CDF}}\)

\( {S_{AED}} = {S_{CFB}}\)

Từ đó suy ra: \({S_{ABCFE}} = {S_{ADCFE}}\)

b) Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Lời giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {A} = \widehat C\), mà \(AE, CF\) lần lượt là phân giác góc A và góc C nên \(\widehat {BAE} = \widehat {DAE} = \dfrac{{\widehat {BAD}}}{2}\) và \(\widehat {DCF} = \widehat {BCF} = \dfrac{{\widehat {DCB}}}{2}\)

Suy ra \(\widehat {BAE} = \widehat {DAE} = \widehat {DCF} = \widehat {BCF}\)

Xét \(∆ ABE\) và \(∆ CDF\) có:

\(\widehat {BAE} = \widehat {DCF}\) (chứng minh trên)

\(AB=CD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\(\widehat {ABE} = \widehat {FDC}\) (hai góc ở vị trí so le trong)

\(\Rightarrow ∆ ABE = ∆ CDF \,(g.c.g)\)

\( \Rightarrow {S_{ABE}} = {S_{CDF}}\) \((1)\)

Xét \(∆ AED\) và \(∆ CFB\) có:

\(\widehat {DAE} = \widehat {BCF}\) (chứng minh trên)

\(AD=CB\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\(\widehat {ADE} = \widehat {FBC}\) (hai góc ở vị trí so le trong)

\(\Rightarrow∆ AED = ∆ CFB \,(g.c.g)\)

\( \Rightarrow {S_{AED}} = {S_{CFB}}\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\({S_{ABE}} + {S_{CFB}} = {S_{CDF}} + {S_{AED}}\)

Hay \({S_{ABCFE}} = {S_{ADCFE}}\)

b. Hình \(ABCFE\) không phải đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh \(EF.\)

Hình \(ADCFE\) không phải là đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh \(EF.\)