Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ . Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.

a) Chứng minh rằng mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB và AC.

b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài của AD và SD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi $B_{2}, C_{2}$ là giao điểm của mặt cầu với các cạnh AC,AB. Chứng minh $B_{2}, C_{2}$ là các trung điểm bằng cách tính độ dài $B C_{2}$ và $C B_{2}$ .

b) Sử dụng hệ thức $S D . S A = S B_{1}^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Giả sử mặt cầu đi qua đỉnh A của hình chóp và tiếp xúc với cạnh SB tại B1, tiếp xúc với cạnh SC tại C1. Khi đó mặt cầu cắt cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm C2, B2.

Mặt phẳng (SAB) cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn này tiếp xúc với SB tại B1 và đi qua A và C2.

Do đó, ta có: BB₁² = BA. BC2 trong đó $B B_{1} = \frac{S B}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ . Do đó, $B {B_{1}}^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Vậy $\frac{a^{2}}{2} = a . B C_{2} \Rightarrow B C_{2} = \frac{a^{2}}{2} : a = \frac{a}{2}$

Điều đó chứng tỏ mặt cầu nói trên đi qua trung điểm C2 của đoạn AB.

Lí luận tương tự ta chứng minh được mặt cầu đó đi qua trung điểm B2 của AC.

b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D, ta có:

$S D {. S A = S B}_{1}^{2}$ hay $S D . a \sqrt{2} = (\frac{a \sqrt{2}}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Do đó, $S D = \frac{a^{2}}{2} : a \sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ và $A D = S A - S D = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Đề toán tổng hợp chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Câu hỏi trắc nghiệm chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024