Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) $\hat{B A C} = 90^{0}$

b) $\hat{B A C} = 60^{0}$ và b=c

c) $\hat{B A C} = 120^{0}$ và b=c

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dựng tâm hình cầu (giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trung trực của đoạn thẳng SA)

- Tính bán kính dựa vào các kiến thức hình học đã biết.

Lời giải chi tiết

$\hat{B A C} = 90^{0}$ . Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có OS = OA = OB = OC

Và $r^{2} = O A^{2} = O M^{2} + M A^{2} = (\frac{a}{2})^{2} + (\frac{b}{2})^{2} + (\frac{c}{2})^{2}$

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có $r = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

b) $\hat{B A C} = 60^{0}$ và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có OS = OA = OB = OC và r2 = OA2 = OI2 + IA2

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có

$r^{2} = (\frac{a}{2})^{2} + (\frac{2}{3} b \frac{\sqrt{3}}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{3}$ . Vậy $r = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{3}}$

c) $\hat{B A C} = 120^{0}$ và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 1200 và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.

Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có: OS = OA = OB = OC và r2=OA2=OK2+KA2=(a2)2+b2 $r^{2} = O A^{2} = O K^{2} + K A^{2} = (\frac{a}{2})^{2} + b^{2}$

Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính r=√a24+b2 $r = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + b^{2}}$

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Đề toán tổng hợp chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Câu hỏi trắc nghiệm chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024