Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ′ có AA’ là đoạn vuông góc chung, trong đó A∈Δ và A′∈Δ′. Gọi (α) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với Δ′ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng (α) $(α)$ lần lượt cắt Δ và Δ′ tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) là M1.

a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc φ=(Δ,Δ′)

b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh ba điểm $A, M^{'}, M_{1}$ cùng nhìn A'M một góc $90^{0}$ .

Tình bán kính và suy ra diện tích theo công thức $S = 4 π R^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có: $\hat{A^{'} M^{'} M} = \hat{A^{'} A M} = \hat{A^{'} M_{1} M} = 90^{0}$

Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ ,M1 cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính $r = \frac{A^{'} M}{2}$

Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2, trong đó $\cos φ = \frac{M M_{1}}{A M}$ nên $A M = \frac{M M_{1}}{\cos φ} = \frac{x}{\cos φ}$

Do đó $A^{'} M^{2} = a^{2} + \frac{x^{2}}{\cos^{2} φ}$

$\Rightarrow A^{'} M = \sqrt{\frac{a^{2} \cos^{2} φ + x^{2}}{\cos^{2} φ}} = \frac{1}{\cos φ} \sqrt{a^{2} \cos^{2} φ + x^{2}}$

Mặt cầu tâm O có bán kính $r = \frac{A^{'} M}{2} = \frac{1}{2 \cos φ} \sqrt{a^{2} \cos^{2} φ + x^{2}}$

Diện tích của mặt cầu tâm O là: $S = 4 π r^{2} = π (2 r)^{2} = π (A^{'} M)^{2} = π (a^{2} + \frac{x^{2}}{\cos^{2} φ})$

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // Δ nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với Δ.

Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.

Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Đề toán tổng hợp chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Câu hỏi trắc nghiệm chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024