Bài 20 trang 7 SBT toán 8 tập 1

\(\) \(A = 4x - {x^2} + 3\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho: \(m-(A-B)^2 \le m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=B\).

Lời giải chi tiết:

\(\) \(A = 4x - {x^2}+ 3 = 7 - {x^2} + 4x - 4 \)\(= 7 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2}\)

Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\)  với mọi \(x\)

Suy ra: \(A = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 7\)

Do đó \(A=7 \Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Vậy giá trị của \(A\) lớn nhất là \(7\) tại \(x = 2\)

\(\) \(B = x - {x^2}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho: \(m-(A-B)^2 \le m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=B\).

Lời giải chi tiết:

\(\) \(B = x - {x^2}\)\( =\displaystyle {1 \over 4} - {x^2} + x - {1 \over 4}\)\( = \displaystyle{1 \over 4} - \left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) \)\(=\displaystyle {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2}\) 

Vì \({\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\)

Suy ra: \(B =\displaystyle {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\)

Do đó: \(B=\dfrac{1}4\Leftrightarrow x-\dfrac{1}2=0\Leftrightarrow  x=\dfrac{1}2\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(B\) là \(\displaystyle{1 \over 4}\) tại \(x = \displaystyle{1 \over 2}\)

\(\) \(N = 2x - 2{x^2} - 5\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho: \(m-(A-B)^2 \le m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=B\).

Lời giải chi tiết:

\(\) \(N = 2x - 2{x^2} – 5\) \( =  - 2\left( {{x^2} - x +\displaystyle {5 \over 2}} \right)\)\( = \displaystyle - 2\left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\)

   \( =  - 2\left[ {{{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)}^2} + \displaystyle{9 \over 4}} \right]\)\( =  - 2{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} - \displaystyle {9 \over 2}\)

Vì\({\left( {x -\displaystyle {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \( - 2{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x\).

Suy ra: \(N =  - 2{\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} - \displaystyle{9 \over 2} \le  - {9 \over 2}\)

Do đó \(N=-\dfrac{9}2\Leftrightarrow x-\dfrac{1}2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}2\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(N\) là \( - \displaystyle{9 \over 2}\)  tại \(x = \displaystyle{1 \over 2}\)