Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF)

- Đặt thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′là V

- Tính thể tích khối đa diện (H) bằng phương pháp phân chia khối đa diện.

Chú ý: Công thức tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác S.A′B′C′ và S.ABC với A′∈SA,B′∈SB,C′∈SC là $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . ABC}} = \frac{{SA}^{'}}{S A} . \frac{{SB}^{'}}{S B} . \frac{{SC}^{'}}{S C}$ .

Lời giải chi tiết

Trong (A′B′C′D′), gọi I,J lần lượt là giao điểm của EF với A′B′ và A′D′.

Trong (ADD′A′), gọi M=AJ∩D′D.

Trong (ABB′A′), gọi L=AI∩BB′.

Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF) là ngũ giác AMFEL.

Khi đó (H) là khối đa diện chứ đỉnh A′ và $V_{(H)} = V_{A . A^{'} IJ} - V_{M . D^{'} JF} - V_{L . B^{'} IE}$ .

Gọi V0 là thể tích khối tứ diệnA.A′IJ. V là thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′.

Vì EB′=EC′ và B′I//C′F nên $I B^{'} = {FC}^{'} = \frac{A^{'} B^{'}}{2}$

Do đó $\frac{I B^{'}}{I A^{'}} = \frac{1}{3}$

Mà BE′//A′J, B′L//AA′ $\Rightarrow \frac{I L}{I A} = \frac{IE}{I J} = \frac{{IB}^{'}}{{IA}^{'}} = \frac{1}{3}$

7 $\Rightarrow \frac{V_{I . {ELB}^{'}}}{V_{I . {JAA}^{'}}} = \frac{I L}{I A} . \frac{I E}{I J} . \frac{LE}{A J} = {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27}$

Do đó $V_{I . {ELB}^{'}} = \frac{1}{27} V_{0}$

Tương tự $V_{J . {MFD}^{'}} = \frac{1}{27} V_{0}$

Gọi A′B′=a,B′C′=b, đường cao hạ từ A xuống (A′B′C′D′) là h thì $I A^{'} = \frac{3}{2} A^{'} B' = \frac{3 a}{2};$ $A^{'} J = \frac{3}{2} A^{'} B^{'} = \frac{3 b}{2}$ và

V= $V = V_{ABCD . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ $= S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} ℎ = ab ℎ . \sin \hat{B^{'} A^{'} D^{'}}$ ;

$V_{0} = \frac{1}{3} S_{AIJ} . ℎ$ $= \frac{1}{3} . (\frac{1}{2} . \frac{3 a}{2} . \frac{3 b}{2} \sin \hat{B^{'} A^{'} D^{'}}) ℎ$ $= \frac{3}{8} ab ℎ . \sin \hat{B^{'} A^{'} D^{'}}$

$\Rightarrow \frac{V_{0}}{V} = \frac{3}{8} \Rightarrow V_{0} = \frac{3 V}{8}$

Vậy $V_{(H)} = V_{0} - \frac{2}{27} V_{0}$ $= \frac{25}{27} V_{0} = \frac{25}{27} . \frac{3 V}{8} = \frac{25}{72} V$

$V_{(H^{'})} = V - V_{(H)} = \frac{47}{72} V$ $\Rightarrow \frac{V_{(H)}}{V_{(H^{'})}} = \frac{25}{47}$ .

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương I. Khối đa diện

Đề toán tổng hợp chương I. Khối đa diện

Câu hỏi trắc nghiệm chương I. Khối đa diện

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024