Câu hỏi 8 - Mục Bài tập trang 121

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng C’M // (A’BM’).

2. Phương pháp giải

Đường thẳng d // (P) nếu d //d', d' nằm trong (P).

3. Lời giải chi tiết

Trong $m p\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$ có tứ giác $B C C^{\prime} B^{\prime}$ là hình bình hành nên $B C / / B^{\prime} C^{\prime}$ và $B C=B^{\prime} C^{\prime}$.
Lại có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B C, B^{\prime} C^{\prime}$ nên $B M=C^{\prime} M^{\prime}=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} B^{\prime} C^{\prime}$.
Tứ giác $B M C^{\prime} M^{\prime}$ có $B M / / C^{\prime} M^{\prime}$ (do $B C / / B^{\prime} C^{\prime}$ ) và $B M=C^{\prime} M^{\prime}$ nên $B M C^{\prime} M^{\prime}$ là hình bình hành Do đó $C^{\prime} M / / M^{\prime} B$, mà $M^{\prime} B \subset\left(A^{\prime} B M^{\prime}\right)$ nên $C^{\prime} M / /\left(A^{\prime} B M^{\prime}\right)$.

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’).

2. Phương pháp giải

Đường thẳng d // (P) nếu d //d', d' nằm trong (P).

3. Lời giải chi tiết

Trong $m p\left(A^{\prime} B M^{\prime}\right)$, xét $\Delta A^{\prime} B M^{\prime}$ có $\frac{A^{\prime} G^{\prime}}{A^{\prime} M^{\prime}}=\frac{A^{\prime} K}{A^{\prime} B}=\frac{2}{3}$ nên $G^{\prime} K / / M^{\prime} B$ (theo định lí Thalès đảo) Mà $M^{\prime} B \subset\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$ nên $G^{\prime} K / /\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$.

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’).

2. Phương pháp giải

(P)//(Q) nếu d,d' cắt nhau nằm trong (P) và d, d'//(Q).

3. Lời giải chi tiết

Trong $m p\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$, tứ giác $C M M^{\prime} C^{\prime}$ có $C^{\prime} M^{\prime} / / C M$ và $C^{\prime} M^{\prime}=C M=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \quad B^{\prime} C^{\prime}$. 

Do đó tứ giác $C M M^{\prime} C^{\prime}$ là hình bình hành nên $M^{\prime} M / / C^{\prime} C$ và $M^{\prime} M=C^{\prime} C$.

Mà $A^{\prime} A / / C^{\prime} C$ và $A^{\prime} A=C^{\prime} C$ nên $A^{\prime} A / / M^{\prime} M$ và $A^{\prime} A=M^{\prime} M$.
Khi đó $A M M^{\prime} A^{\prime}$ là hình bình hành nên $A^{\prime} M^{\prime} / / A M$ và $A^{\prime} M^{\prime}=A M$.
Lại có $\frac{A G}{A M}=\frac{A^{\prime} G^{\prime}}{A^{\prime} M^{\prime}}=\frac{2}{3}$ nên $A^{\prime} G^{\prime}=A G$, do đó $G^{\prime} M^{\prime}=G M$.
Xét tứ giác GMM'G' có: $G^{\prime} M^{\prime}=G M\left(\right.$ do $\left.A^{\prime} M^{\prime} / / A M\right)$ và $G^{\prime} M^{\prime}=G M$.
Do đó GMM'G' là hình bình hành nên G'G // M'M
Lại có $\mathrm{M}^{\prime} \mathrm{M} \subset\left(\mathrm{BCC}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\right)$ nên $\mathrm{G}^{\prime} \mathrm{G} / /\left(B C C^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\right)$.
Ta có: $G^{\prime} \mathrm{K} / /\left(\mathrm{BCC}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\right)$;
$\mathrm{G}^{\prime} \mathrm{G} / /\left(\mathrm{BCC}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\right)$;
G'K, G'G cắt nhau tại điểm $G^{\prime}$ và cùng nằm trong ( $\left.G G^{\prime} K\right)$
Do đó $\left(G G^{\prime} K\right) / /\left(\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)\right.$.

1. Nội dung câu hỏi

Gọi (a) là mặt phẳng đi qua $\mathrm{K}$ và song song với mặt phẳng $(\mathrm{ABC})$. Mặt phẳng (a) cắt cạnh $ \mathrm{CC}^{\prime}$ tại điểm I. Tính $\frac{I C}{I C^{\prime}}$.

2. Phương pháp giải

(P)//(Q) nếu d,d' cắt nhau nằm trong (P) và d, d'//(Q).

3. Lời giải chi tiết

Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.

Trong mp (ACC’A'), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.

Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);

          JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).

Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).

Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).

Khi đó CC’ cắt (α) tại I.

Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Xét hai cát tuyến $C^{\prime} C$ và $A^{\prime} B$ bất kì cắt ba mặt phẳng song song $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$, $(I J K),(A B C)$ lần lượt tại các điểm $C^{\prime}, I, C$ và $A^{\prime}, K, B$. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có: $\frac{C^{\prime} I}{A^{\prime} K}=\frac{I C}{K B}$
Suy ra $\frac{K B}{A^{\prime} K}=\frac{I C}{C^{\prime} I}$
Theo bài, $\frac{A^{\prime} K}{A^{\prime} B}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{A^{\prime} B}{A^{\prime} K}=\frac{3}{2}$ do đó $\frac{A^{\prime} B-A^{\prime} K}{A^{\prime} K}=\frac{3-2}{2}$ hay $\frac{K B}{A^{\prime} K}=\frac{1}{2}$
Vậy $\frac{I C}{I C^{\prime}}=\frac{K B}{A^{\prime} K}=\frac{1}{2}$.