Câu hỏi 5.26 - Mục Bài tập trang 124

1. Nội dung câu hỏi

$u_n=\frac{n^2}{3 n^2+7 n-2}$

2. Phương pháp giải

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn.

3. Lời giải chi tiết

$u_n=\frac{n^2}{3 n^2+7 n-2}$
Ta có: $\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^2}{3 n^2+7 n-2}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^2}{n^2\left(3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{3}$

1. Nội dung câu hỏi

$v_n=\sum_{k=0}^n \frac{3^k+5^k}{6^k}$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổng cấp số nhân.

3. Lời giải chi tiết

$
\begin{aligned}
& v_n=\sum_{k=0}^n \frac{3^k+5^k}{6^k}=\frac{3^0+5^0}{6^0}+\frac{3^1+5^1}{6^1}+\ldots+\frac{3^n+5^n}{6^n} \\
& =\frac{3^0}{6^0}+\frac{5^0}{6^0}+\frac{3^1}{6^1}+\frac{5^1}{6^1}+\ldots+\frac{3^n}{6^n}+\frac{5^n}{6^n} \\
& =\left[\left(\frac{3^0}{6^0}+\frac{3^1}{6^1}+\ldots+\frac{3^n}{6^n}\right)\right]+\left[\left(\frac{5^0}{6^0}+\frac{5^1}{6^1}+\ldots+\frac{5^n}{6^n}\right)\right]
\end{aligned}
$
Vì $\frac{3^0}{6^0} ; \frac{3^1}{6^1} ; \ldots ; \frac{3^n}{6^n}$ là cấp số nhân có $(n+1)$ số hạng với $u_1=\frac{3^0}{6^0}=1, q=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Do đó:
$
\frac{3^0}{6^0}+\frac{3^1}{6^1}+\ldots+\frac{3^n}{6^n}=1 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2-2 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^n
$
Vì $\frac{5^0}{6^0} ; \frac{5^1}{6^1} ; \ldots ; \frac{5^n}{6^n}$ là cấp số nhân có $(n+1)$ số hạng với $u_1=\frac{5^0}{6^0}=1, q=\frac{5}{6}$. Do đó:
$
\frac{5^0}{6^0}+\frac{5^1}{6^1}+\ldots+\frac{5^n}{6^n}=1 \cdot \frac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}}{1-\frac{5}{6}}=6-6 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}=6-5 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^n
$

Vậy $v_n=2-\left(\frac{1}{2}\right)^n+6-5 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^n=8-\left(\frac{1}{2}\right)^n-5 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^n$
Do đó, $\lim _{n \rightarrow+\infty} v_n=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[8-\left(\frac{1}{2}\right)^n-5 \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^n\right]=8$.

1. Nội dung câu hỏi

$\mathrm{w}_n=\frac{\sin n}{4 n}$

2. Phương pháp giải

Đánh giá biểu thức và sử dụng kiến thức về dãy số có giới hạn 0.

3. Lời giải chi tiết

$\mathrm{w}_n=\frac{\sin n}{4 n}$
Ta có: $\left|w_n\right|=\left|\frac{\sin n}{4 n}\right| \leq \frac{1}{4 n}<\frac{1}{n}$ và $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0$.
Do đó, $\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathrm{w}_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sin n}{4 n}=0$.