ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - SBT TOÁN 11 NÂNG CAO

Câu 5.6 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c

LG a

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} - x + 2\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2 \hfill \cr{1 \over {x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2 \hfill \cr}  \right.\)            

Lời giải chi tiết:

 – Với \(x < 2\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là \(f'\left( x \right) = 2x - 1\)

     – Với \(x > 2\) thì \(f\left( x \right) = {1 \over {x - 1}}\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là

                                    \(f'\left( x \right) =- {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

     – Với \(x = 2\) thì ta có

                        \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x + 2} \right) = 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {1 \over {x - 1}} = 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\), suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\), tức là hàm số không liên tục tại điểm \(x = 2\), nên nó cũng không có đạo hàm tại điểm này.

LG b

 \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr{2 \over x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

Tương tự như bài a), dễ dàng chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 1\)  và

\(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x + 1\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr- {2 \over {{x^2}}}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \hfill \cr}  \right.\)

Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm tại điểm \(x = 1\). Vì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 2 = f\left( 1 \right)\)

Nên hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 1\)

Mặt khác ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left( {{x^2} + x} \right) - 2} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\)

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{2 \over x} - 2} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - {2 \over x}} \right) =  - 2\)

Do đó

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}}\)

Suy ra hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm \(x = 1\)

LG c

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0 \hfill \cr- {x^3} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

 

Lời giải chi tiết:

Chứng minh tương tự như ý trên, ta thấy hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 0\) và

\(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr- 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

Xét tính liên tục và sự tồn tại điểm \(x = 0\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(1)\)

Suy ra hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0

Mặt khác ta có:

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\left( {{x^2} + 1} \right) - 1} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left( { - {x^3} + 1} \right) - 1} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) = 0\)

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = 0\) nên suy ra

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = 0\)

Hay \(f'\left( 0 \right) = 0\)

Vậy với mọi \(x \in R\), hàm số đã cho có đạo hàm và

\(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr - 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

Chú ý. Có thể không cần chứng minh hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 0\) (theo định nghĩa) như đã làm, mà lí luận như sau (khi đã chứng minh được \(f'\left( 0 \right) = 0\): “vì hàm số đã cho có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nên nó liên tục tại điểm đó”.

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved