Bài tập 2 trang 130 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác DEF vuông tại D có cạnh DE = 12 cm, cạnh DF = 16 cm.

Trên cạnh DF lấy điểm A sao cho DA = DE (A nằm giữa D và F). Trên tia đối của tia ED lấy điểm B sao cho DB = DF (E nằm giữa D và B). Kẻ DH là đường cao của tam giác DEF. Đường thẳng DH cắt AB tại P.

a) Tính độ dài cạnh EF

b) Chứng minh \(\Delta DEF = \Delta DAB\)

c) Chứng minh DP là trung tuyến của tam giác DAB.

Lời giải chi tiết

a) ∆DEF vuông tại D

Ta có EF² = DE² + DF² (định lí Pythagore)

=> EF² = 12² + 16² = 400 = 20²

=> EF = 20 (cm).

b) Xét ∆DEF và ∆DAB ta có: DE = DA (gt)

\(\widehat D\) (chung)

DF = DB (gt)

Do đó: ∆DEF = ∆DAB (c.g.c).

c) Ta có: \(\widehat {DEF} + \widehat F = 90^\circ\) (∆DEF vuông tại D) và \(\widehat {PDA} + \widehat F = 90^\circ\) (∆DHF vuông tại H)

\( \Rightarrow \widehat {DEF} = \widehat {PDA}\)

Mà \(\widehat {DEF} = \widehat {DAP}\) (∆DEF = ∆DAB). Nên \(\widehat {PDA} = \widehat {DAP}\)

=> ∆DPA cân tại P

Vậy PD = PA (1)

Ta có: \(\widehat {DFE} + \widehat {DEF} = 90^\circ\) (∆DEF vuông tại D)

\(\widehat {BDP} = \widehat {DEF} = 90^\circ\) (∆DEH vuông tại H)

\( \Rightarrow \widehat {DFE} = \widehat {BDP}\)

Mà \(\widehat {DFE} = \widehat {DBP}\) (∆DEF = ∆DAB). Nên \(\widehat {BDP} = \widehat {DBP}\)

=> ∆DBP cân tại P => PA = BP

=> P là trung điểm của AB (\(P \in AB\))

Vậy DP là đường trung tuyến của tam giác DAB.